第 一 題

【解題思路】結合符元映射與脈波平移，建構基頻 PAM 訊號的時域數學式並繪製波形。 【詳解】 已知條件整理：

【破題】在加性高斯白雜訊（AWGN）環境下，通訊系統的位元錯誤率（BER）與每位元能量對雜訊功率頻譜密度比（$E_b/N_0$）成反比。為改善雜訊干擾，最直接的方式是提升傳送脈波 $h(t)$ 的信號能量。\n【論述】\n一、改變 $h(t)$ 的方法\n應「增加脈波的振幅（Amplitude）」。\n原系統脈波振幅為 1，每位元能量 $E_b = \int_{0}^{T} |h(t)|^2 dt = T$。若將脈波振幅放大 $A$ 倍（$A > 1$），即新脈波 $h_{new}(t) = A \cdot h(t)$，則每位元能量將提升為 $E_{b,new} = \int_{0}^{T} |A|^2 dt = A^2 T$。根據最佳接收機的錯誤機率公式 $P_e = Q(\sqrt{2E_b/N_0})$，當訊號能量 $E_b$ 提升，可大幅降低雜訊造成的誤碼率。\n\n二、付出的代價（Cost）\n1. 傳輸功率增加（Power Consumption）：提高振幅意味著發射端需要輸出更大的平均功率（由原先的 $1^2$ 增為 $A^2$），這將導致系統整體功耗上升，對於依賴電池供電的通訊設備極為不利。\n2. 硬體規格要求提高：更高的信號振幅需要射頻前端的功率放大器（PA）提供更大的線性動態範圍。若信號超出放大器的線性區，會導致信號削峰失真（Clipping）與頻帶外洩漏，進而增加硬體設計的難度與製造成本。\n（補充：若不改變振幅而選擇增加脈波寬度 $T$ 來提高能量，其代價則是降低了系統的資料傳輸速率 $R_b = 1/T$。）\n【總結】為了改善雜訊干擾，最有效的改變是增加 $h(t)$ 振幅以提升信號能量，此舉為通訊系統設計中典型的「以傳輸功率（Power）換取可靠度（Reliability）」的權衡。

【破題】欲使系統在每 $T$ 秒內傳送兩個位元，可透過「縮短脈波寬度以提高符元率」或「增加脈波振幅階數以提升頻譜效率」兩種方式來改變 $h(t)$ 及其傳輸機制。 【論述】 一、方法一：縮短脈波寬度（提高符元率）