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moea_joint_essay 112年 [電機] 電力系統與電機機械、電磁學

第 一 題

📖 題組：
某平行板電容如【圖 2】所示，其平板面積為 5 m^2，中間夾有 3 種不同介電質，厚度均為 4 mm，其相對介質係數分別為 εr1 = 12、εr2 = 8 及 εr3 = 6，真空中介電係數 ε0=8.85×10^-12 F/m，若忽略邊際，上下平板電容間有 120 V 電位，請回答下列問題(計算至小數點後第 2 位，以下四捨五入)：（2 題，每題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

平行板電容每一個介電質區域之極化(Polarization, P)為多少c/m^2？
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計算串聯介電質的等效電容，求出電荷密度 D，再利用 P = D - ε0 * E 求出各區域的極化量 P。

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  1. 串聯電容電通量密度 $D$ 相同。總厚度 $d_1 = d_2 = d_3 = 4 \times 10^{-3}$ m。
  2. 總電壓 $V = V_1 + V_2 + V_3 = E_1 d_1 + E_2 d_2 + E_3 d_3 = \frac{D}{\varepsilon_1} d_1 + \frac{D}{\varepsilon_2} d_2 + \frac{D}{\varepsilon_3} d_3$。
  3. $120 = D \times (4 \times 10^{-3}) \times \left( \frac{1}{12\varepsilon_0} + \frac{1}{8\varepsilon_0} + \frac{1}{6\varepsilon_0} \right)$

小題 (二)

平行板電容之電容值為多少法拉(F)？
題目圖片

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利用串聯電容公式 C = 1 / (1/C1 + 1/C2 + 1/C3) 或由總電荷 Q = D * A 及 C = Q / V 求解。

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  1. 總電荷 $Q = D \times A = 7.08 \times 10^{-7} \times 5 = 3.54 \times 10^{-6}$ C。
  2. 電容值 $C = \frac{Q}{V} = \frac{3.54 \times 10^{-6}}{120} = 2.95 \times 10^{-8}$ F。 或者使用等效電容公式：
📝 介電質極化強度計算
💡 串聯電容之電通量密度守恆，由總電壓求出 D 後推導極化量 P。

🔗 介電質極化計算邏輯鏈

  1. 1 判定 D 守恆 — 串聯平板電容中，各層電通量密度 D 皆相等
    2. ↓
  2. 2 建立電壓關係 — 總電壓 V = Σ(D / ε_i) * d_i，代入已知常數
    3. ↓
  3. 3 解出電通量 D — 由電壓方程式反求出 D 的數值
    4. ↓
  4. 4 計算極化 P — 利用 P = D(1 - 1/εr) 求出各區域極化量
🔄 延伸學習：延伸學習：若為並聯配置，則為各區域電場 E 相同，D 不同。
🧠 記憶技巧：串聯求 D，分壓加總；極化強度，D 扣真空。
⚠️ 常見陷阱：最常誤認各層「電場 E」相同。實際上，垂直介面時是「電通密度 D」連續，電場 E 會隨介電係數改變。
電位移向量 邊界條件 相對介電係數 電介質中的高斯定律

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