地特三等申論題
113年
[化學工程] 反應工程及單元操作
第 二 題
📖 題組：
五、圖二描述①位置密度 $\rho_1$ 流體以速度 $v_1$ 進入截面積 $A_1$ 水平噴嘴，密度 $\rho_2$ 流體於②位置其截面積 $A_2$以速度 $v_2$噴出。若為層流（laminar flow），則定義動量速度因子 $\beta = (v^2)_{av} / (v_{av})^2$ ，其中 $(v^2)_{av} = (1/A)\iint_A v^2\, dA$ 及 $v_{av}$為平均速度。
五、圖二描述①位置密度 $\rho_1$ 流體以速度 $v_1$ 進入截面積 $A_1$ 水平噴嘴，密度 $\rho_2$ 流體於②位置其截面積 $A_2$以速度 $v_2$噴出。若為層流（laminar flow），則定義動量速度因子 $\beta = (v^2)_{av} / (v_{av})^2$ ，其中 $(v^2)_{av} = (1/A)\iint_A v^2\, dA$ 及 $v_{av}$為平均速度。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
(二)求β 值。（10 分）
思路引導 VIP
看到計算層流的動量速度因子 β，首先要回想牛頓流體在圓形管內充分發展的層流（Hagen-Poiseuille flow），其速度分佈為拋物線方程式。接著，利用面積積分公式分別求出平均流速與速度平方的平均值，最後代入題目給定的定義式相除即可得解。
小題 (一)
(一)寫出流體在截面積 $A = \pi R^2$ 管內的層流速度 v 與位置 r 及 $v_{av}$關係式。（5 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到圓管內牛頓流體層流（Hagen-Poiseuille flow）的拋物線速度分佈特性。先寫出局部速度與最大速度的拋物線方程式，再透過面積積分求得平均速度，即可將兩者建立連結並代換得出最終關係式。
層流動量校正因子
💡 利用拋物線流速分佈積分求取層流之動量校正因子 beta。
🔗 動量校正因子 beta 推導流程
- 1 建立速度分布 — 寫出層流拋物線分布方程式
- 2 積分求平均 — 對截面積積分求 vav 與 (v^2)av
- 3 定義式求值 — 代入 beta 定義式計算得出 4/3
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🔄 延伸學習：延伸思考：紊流 (Turbulent flow) 的 beta 值因分布較扁平會趨近於 1。
