地特三等申論題
113年
[水利工程] 渠道水力學
第 一 題
何謂最佳水力斷面？推求矩形渠道的最佳水力斷面。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題測驗核心為最佳水力斷面的物理意義與數學推導。解題時應先點出「給定面積下流量最大」的定義，並藉由曼寧公式說明此條件等價於「水結周圍最小」。接著利用微積分 (dP/dy=0) 求解矩形斷面面積與水深的關係，進而推導出寬深比 (b=2y) 及水力半徑 (R=y/2) 的最終結論。
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【解題思路】由曼寧公式出發，將最佳水力斷面問題轉化為在給定面積 A 下，求水結周圍 P 最小值的微積分極值問題。 【詳解】 一、最佳水力斷面之定義
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最佳水力斷面
💡 給定面積與坡度下，以最小潤周達成最大通水流量的斷面形狀。
🔗 矩形渠道最佳斷面推導邏輯
- 1 建立目標函數 — 依曼寧公式，Q 最大化等同於潤周 P 最小化。
- 2 變數代換 — 利用 A=by 將 P=b+2y 化為單一變數函數 P=A/y + 2y。
- 3 微積分極值 — 對 y 微分並令 dP/dy = 0，解出 A=2y^2。
- 4 得出幾何關係 — 代回原式求得寬深比 b=2y 與 R=y/2。
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🔄 延伸學習：延伸學習：不同形狀（如梯形、三角形）的導引邏輯皆相同，皆為求 P 之極小值。
