地特四等申論題
113年
[電信工程] 通信系統概要
第 二 題
📖 題組：
二、考慮一 AM 調變器的輸出為 $s(t)=3(1+k_a \times m(t))cos(2\pi f_c t)$，其中 f_c=10^9，輸入訊號為 $m(t)=cos(10^6\pi t)+1.5cos(2\times 10^6\pi t)$，k_a=0.25 為調變器的振幅靈敏度（amplitude sensitivity）。（每小題 5 分，共 20 分）
二、考慮一 AM 調變器的輸出為 $s(t)=3(1+k_a \times m(t))cos(2\pi f_c t)$，其中 f_c=10^9，輸入訊號為 $m(t)=cos(10^6\pi t)+1.5cos(2\times 10^6\pi t)$，k_a=0.25 為調變器的振幅靈敏度（amplitude sensitivity）。（每小題 5 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
計算 s(t)的頻譜。
思路引導 VIP
要求 s(t) 的頻譜，應將 s(t) 的時域方程式徹底展開，並利用積化和差公式 (cosA cosB = 0.5[cos(A+B)+cos(A-B)]) 將所有乘積項轉為單純的餘弦項。找出載波頻率與兩個訊息頻率，轉換成頻域的脈衝函數 (Delta function)。
小題 (一)
計算此系統之「調變百分率」為何？
思路引導 VIP
調變指數 (Modulation Index, μ) 的定義為 k_a * max|m(t)|。因此破題關鍵是找出 m(t) 的最大絕對值。因為 m(t) 是兩個餘弦波相加，且相位皆為零，可直接判斷在 t=0 時兩者同時達到最大值，相加即可得 max|m(t)|，再乘上 k_a 換算百分比。
小題 (三)
計算 m(t)的頻寬。
思路引導 VIP
基頻訊號的頻寬即為其最高頻率成份。觀察 m(t) 的組成，找出最大的角頻率 (ω)，並將其轉換為頻率 (f = ω / 2π) 即可。
小題 (四)
計算 s(t)的傳輸頻寬。
思路引導 VIP
這是一題概念秒殺題。s(t) 是標準的雙邊帶振幅調變 (AM)，其產生的頻譜包含載波、上邊帶 (USB) 與下邊帶 (LSB)。因此傳輸頻寬必定是基頻頻寬的兩倍。
AM 調變訊號頻譜分析
💡 利用積化和差公式與傅立葉轉換，分析 AM 訊號的雙邊頻譜分布。
🔗 AM 頻譜分析三步驟
- 1 代入與展開 — 將 m(t) 代入公式並將載波項與訊息項乘開
- 2 積化和差 — 將 cos(A)cos(B) 轉換為和頻與差頻之和
- 3 頻域映射 — 將餘弦波轉為脈衝，振幅減半並分布於正負頻率
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🔄 延伸學習：延伸學習：調變效率計算（邊帶功率佔總功率之比例）
