地特四等申論題 113年 [機械工程] 機械力學概要

第一題

📖 題組：
圖三（a）所示為內含一個中空圓孔的斜線面積，試求：提示：如圖三（b）所示，半徑為r 之半圓形面積對於直徑 AA'軸的面積慣性矩為 I_AA' = πr^4/8。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

斜線面積之形心的 x 座標。（5 分）

本題運用『組合面積重疊法』，將複雜圖形視為『大對稱實心體』扣除『挖空小圓』。由對稱性可知實心主體形心在原點，只需計算小孔洞造成的面積一次矩減損，代入組合面積形心公式即可快速求解。

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【解題關鍵】利用組合面積的形心原理，將圖形視為完整實心圖形扣除挖空的圓形，以重疊法代入面積一次矩公式求解。【解答】計算：

斜線面積對 x 軸的面積慣性矩。（10 分）

本題測驗複合截面的面積慣性矩計算。看到此題，應立即想到使用「疊加原理」，將不規則的斜線截面拆解為中央正方形、左右兩個半圓，並扣除右側的中空小圓孔。由於所有子圖形的形心皆落在 x 軸上，可直接計算個別對 x 軸的慣性矩後加減即可，無需使用平行軸定理。

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【解題關鍵】利用疊加原理（Superposition Method），將複雜截面拆解為基本幾何形狀（矩形、半圓形、圓孔），分別計算對 x 軸的面積慣性矩後相加減。【解答】計算：

斜線面積對 y 軸的面積慣性矩。（10 分）

這題是經典的「組合圖形面積慣性矩」計算題，解題核心在於運用疊加法與平行軸定理。最大的陷阱在於半圓平移時，必須先從其直徑軸平移到「形心軸」，再從形心軸平移到 y 軸。不可直接從直徑軸平移至 y 軸，否則會違反平行軸定理的適用條件。

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【解題關鍵】利用組合面積疊加原理與平行軸定理（$I = \bar{I} + Ad^2$），且必須注意：面積慣性矩平移時，基準軸必須為該圖形的「形心軸」。【解答】計算：