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地特四等申論題 113年 [機械工程] 機械力學概要

第 一 題

📖 題組：
三、圖三（a）所示為內含一個中空圓孔的斜線面積，試求： (一)斜線面積之形心的 x 座標。（5 分） (二)斜線面積對 x 軸的面積慣性矩。（10 分） (三)斜線面積對 y 軸的面積慣性矩。（10 分） 提示：如圖三（b）所示，半徑為 r 之半圓形面積對於直徑 AA' 軸的面積慣性矩為 I_AA' ＝ πr⁴/8。
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

斜線面積之形心的 x 座標。（5 分）
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  1. 圖形分解：將整個截面視為四個簡單幾何圖形的組合：中間正方形（2a x 2a）、左半圓（半徑a）、右半圓（半徑a），並扣除右側的中空圓孔（半徑a/2）。
  2. 對稱性觀察：未挖空前的組合圖形（正方形 + 左右對稱半圓）對 y 軸完全對稱，其形心位於原點 (0,0)。因此，求形心時，只需計算扣除圓孔對形心產生的偏移量。
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【考點分析】 本題考查組合截面的幾何性質，包含形心座標的計算，需要掌握分割法及負面積法的應用。 【理論/法規依據】

小題 (二)

斜線面積對 x 軸的面積慣性矩。（10 分）
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  1. 公式選用：計算各個子區域對共同軸（x 軸）的面積慣性矩。由於 x 軸是所有子區域的對稱軸，不需使用平行軸定理進行垂直距離偏移，可直接求和。
  2. 各部分慣性矩計算：
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【考點分析】 本題考查組合截面繞對稱軸的面積慣性矩計算，重點在於各基本幾何形狀慣性矩公式的正確套用。 【理論/法規依據】

小題 (三)

斜線面積對 y 軸的面積慣性矩。（10 分）
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  1. 平行軸定理的應用：由於各子區域的形心不全在 y 軸上，因此計算對 y 軸的慣性矩時，必須靈活運用平行軸定理（Iy = I_bar + A * d²）。
  2. 半圓形對 y 軸的慣性矩求解技巧：
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【考點分析】 本題考查平行軸定理在組合截面慣性矩計算中的應用。特別是半圓形繞非形心軸之慣性矩轉移，需要細心推導以避免計算錯誤。 【理論/法規依據】

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