地特四等申論題
113年
[電信工程] 通信系統概要
第 二 題
📖 題組：
考慮一 AM 調變器的輸出為 s(t) = 3(1 + ka × m(t))cos(2πfct)，其中 fc = 10^9，輸入訊號為 m(t) = cos(10^6πt) + 1.5cos(2 × 10^6πt)，ka = 0.25 為調變器的振幅靈敏度（amplitude sensitivity）。（每小題 5 分，共 20 分）
考慮一 AM 調變器的輸出為 s(t) = 3(1 + ka × m(t))cos(2πfct)，其中 fc = 10^9，輸入訊號為 m(t) = cos(10^6πt) + 1.5cos(2 × 10^6πt)，ka = 0.25 為調變器的振幅靈敏度（amplitude sensitivity）。（每小題 5 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
計算 s(t) 的頻譜。
思路引導 VIP
計算 AM 訊號頻譜的關鍵在於將時域表示式完全展開。考生看到這類題目時，應先將調變訊號 m(t) 代入 s(t)，利用『積化和差』公式將乘積項轉換為多個獨立頻率的餘弦波相加，最後再逐項運用傅立葉轉換對應的 Delta 函數即可得到頻譜分布。
小題 (一)
計算此系統之「調變百分率」為何？
思路引導 VIP
看到求AM調變百分率，首先要聯想到調變指數（Modulation Index）公式 μ = max|ka × m(t)|。此題的核心難點在於 m(t) 為兩個不同頻率的餘弦波相加，必須利用倍角公式將其轉換為單一變數的二次函數，再透過求極值來找出 m(t) 的最大絕對振幅。
小題 (三)
計算 m(t) 的頻寬。
思路引導 VIP
判斷基頻訊號的頻寬，需先找出訊號中包含的所有頻率成分。利用 cos(2πft) 對應找出各項的頻率 f，取其中的最高頻率值即為該基頻訊號 m(t) 的頻寬 W。
小題 (四)
計算 s(t) 的傳輸頻寬。
思路引導 VIP
看到計算 AM 傳輸頻寬，首先應分析訊息訊號 m(t)，找出其最高頻率成分（即基頻頻寬 W）。接著套用標準振幅調變（AM）的雙邊帶特性，使用頻寬公式 B_T = 2W 即可求得答案。
AM 調變頻譜分析
💡 運用積化和差展開 AM 時域訊號，並轉為頻域 Delta 函數分佈。
🔗 AM 頻譜分析推導步驟
- 1 訊號代入與展開 — 將 m(t) 代入標準式，將括號展開為多項餘弦波項次。
- 2 積化和差運算 — 將載波與調變訊號乘積項化為高、低側邊頻波。
- 3 頻域轉換映射 — 將各餘弦波項轉換為對應頻率上的 Delta 脈衝。
- 4 係數振幅彙整 — 計算 Carrier 與各 Sideband 在頻譜上的最終高度。
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：利用頻譜圖計算訊號之頻寬（Bandwidth）與傳輸效率。
