普考申論題
113年
[機械工程] 機械力學概要
第 二 題
📖 題組：
假設下圖摩擦力及所有滑輪質量均可忽略，繩子不可伸長。方塊 P 與 Q 質量分別爲 7 kg 及 5 kg。在時間 t s 時，P 以 4t² m/s 的速度往左移動。試求：
假設下圖摩擦力及所有滑輪質量均可忽略，繩子不可伸長。方塊 P 與 Q 質量分別爲 7 kg 及 5 kg。在時間 t s 時，P 以 4t² m/s 的速度往左移動。試求：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
t = 3 s，Q 的速度；（10 分）
思路引導 VIP
本題為典型的「相依運動（Dependent Motion）」問題，考查動力學中的運動學（Kinematics）核心觀念。解題第一步應設定基準座標，並列出不可伸長繩索的長度拘束方程式（Constraint Equation）。接著將位置方程式對時間微分，即可得出兩物體間的速度關係。注意此子題僅探討幾何運動關係，無需代入質量條件。
小題 (一)
t = 3 s，P 的加速度；（5 分）
思路引導 VIP
看到此題，首先辨識出題目已明確給定物體 P 的速度與時間的函數關係（v = 4t²）。要求瞬時加速度，只需運用基礎運動學原理，將速度方程式對時間進行一次微分（a = dv/dt），再代入指定時間即可，無須使用題目給定的質量等動力學條件。
小題 (三)
t = 3 s，Q 的加速度。（10 分）
思路引導 VIP
本題看似單純的「絕對相依運動」運動學計算，實則暗藏「動力學」的物理陷阱。解題時需先藉由繩索長度關係算出幾何相依加速度，再利用牛頓第二定律與繩索張力條件 ($T \ge 0$) 檢定。若計算出的向下加速度大於重力加速度，表示繩索已鬆弛，物體轉為自由落體。
滑輪拘束運動分析
💡 利用繩長恆定建立位移關係式，經微分推導物體間的速度關聯。
🔗 拘束運動解題邏輯鏈
- 1 座標定義 — 設定基準線，標註各物體位置座標 (x, y)。
- 2 幾何約束 — 寫出繩長方程式 L = xP + 2yQ。
- 3 時變微分 — 對時間微分得速度關係式 vP + 2vQ = 0。
- 4 數值求解 — 代入 t=3 時的 vP，算出 vQ 之大小與方向。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若再微分一次，可得物體間的加速度 (a) 關係。
