普考申論題
113年
[經建行政] 統計學概要
第 二 題
📖 題組：
某廠商因其生產之商品數量極大，故委託 A 與 B 兩家代工廠商代為生產，已知 A、B 二家代工廠的生產量比例為 3：1。根據以往查核資料，A 代工廠產品的不良率為 2%，B 代工廠產品的不良率為 4%，此二不良率皆符合該廠商對其商品不良率的要求。
某廠商因其生產之商品數量極大，故委託 A 與 B 兩家代工廠商代為生產，已知 A、B 二家代工廠的生產量比例為 3：1。根據以往查核資料，A 代工廠產品的不良率為 2%，B 代工廠產品的不良率為 4%，此二不良率皆符合該廠商對其商品不良率的要求。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
接續題(一)，若該消費者隨機購買一件該廠商生產之商品，此商品為不良品的機率為何？（4 分）
思路引導 VIP
本小題要求「不良品的總機率」。由於商品來源只有 A 廠或 B 廠這兩種互斥且窮盡的情況，因此應使用「全機率定理」（Law of Total Probability）。將（一）求得的兩個交集機率相加即可。
小題 (一)
若有一消費者隨機購買一件該廠商生產之商品，
1. 此商品為從 A 代工廠生產且為不良品的機率為何？（4 分）
2. 此商品為從 B 代工廠生產且為不良品的機率為何？（4 分）
1. 此商品為從 A 代工廠生產且為不良品的機率為何？（4 分）
2. 此商品為從 B 代工廠生產且為不良品的機率為何？（4 分）
思路引導 VIP
本題是典型的機率論基礎題。首先，要釐清題目給出的條件。題目給的是「先驗機率」（A、B廠產量比）以及「條件機率」（給定是某廠，其不良的機率）。
- 辨識隨機變數：令 A、B 為商品來源的事件，D 為商品是不良品的事件。
小題 (三)
若有一消費者隨機購買該廠商生產之商品，發現此商品為不良品，則該產品是來自 B 代工廠的機率為何？（8 分）
思路引導 VIP
這是一個標準的「事後機率」問題。已知結果（是不良品），回推原因（來自B廠）。這必須使用「貝氏定理」（Bayes' Theorem）。思考重點在於：分母是全部不良品的機率，分子是來自 B 廠且不良的機率。
📜 參考法條
P(Z > z_alpha) = alpha : z_0.025 = 1.96, z_0.05 = 1.645
P(t > t_alpha(n)) = alpha : t_0.025(4) = 2.776, t_0.025(5) = 2.571, t_0.05(4) = 2.132, t_0.05(5) = 2.015
P(F > F_alpha(n1, n2)) = alpha : F_0.05(2, 6) = 5.14, F_0.05(2, 8) = 4.46, F_0.025(2, 6) = 7.26, F_0.025(2, 8) = 6.06