高考申論題
113年
[地震測報] 時序分析
第 一 題
📖 題組：
請回答下列有關波形取樣（waveform sampling）及資料處理的問題：
請回答下列有關波形取樣（waveform sampling）及資料處理的問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
一時間域的取樣函數（sampling function）為一連續脈衝函數的組合，表示為 $x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT)$，$T$為取樣時間，$n$為整數，請證明其傅立葉轉換後為 $X(f) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(f - \frac{n}{T})$。（10 分）
思路引導 VIP
看到連續脈衝函數（Dirac comb）應立刻聯想到它是一個週期函數，週期為 T。解題關鍵是先利用「傅立葉級數」求出時間域的指數展開式，再對展開式逐項取「傅立葉轉換」，利用頻移性質即可順利得證。
小題 (二)
當一帶寬限制（band-limited）的連續時間函數 h(t)經過波形取樣，其離散傅立葉轉換後會產生那些現象？請說明。（可繪圖輔助說明）（10 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想連續信號轉換為 DFT 頻譜的完整歷程：「時域取樣」、「時域截斷」與「頻域取樣」。從這三個數學操作出發，對應推導出頻域上的三大現象：頻譜週期延拓（與混疊）、頻譜洩漏（Spectral Leakage），以及柵欄效應（Picket-Fence Effect）。
小題 (三)
在地震研究中，有時為了分析的需求，經常對原始地震波形降採樣（down-sampling），若採用內插方式（interpolation）來降採樣，此時有一時間取樣為 0.01 秒的資料需降採樣至 0.1 秒時，請問會產生何種問題？該如何處理？（5 分）
思路引導 VIP
看到「降採樣（down-sampling）」，第一時間必須聯想「奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem）」與新舊取樣頻率的變化。計算出新的奈奎斯特頻率（5Hz）後，即可點出高於此頻率的訊號會造成「頻疊（Aliasing）」問題，而標準解法即是在降採樣前加上「低通濾波器（抗頻疊濾波）」。
週期脈衝函數轉換
💡 利用傅立葉級數與轉換性質，證明時域脈衝序列轉換後仍為脈衝序列。
🔗 週期脈衝轉換推導流程
- 1 傅立葉級數展開 — 將時域週期脈衝表示為複數指數函數之和
- 2 求取係數 Ck — 利用脈衝篩選性質求得係數恆為 1/T
- 3 CTFT 轉換 — 利用頻率偏移性質將複數指數轉為頻域脈衝
- 4 頻域加總 — 導出頻域中以 1/T 為間隔的脈衝序列公式
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：了解時域取樣如何導致頻譜產生週期性複製。
