高考申論題
113年
[電信工程] 通信與系統
第 二 題
📖 題組：
一、給定一基頻訊號x(t)且頻寬為B,若對於此訊號進行取樣且取樣週期為Ts,則取樣後的訊號為:
xS(t) = x(t) x Σ (t - nTs)
請回答下列問題:
一、給定一基頻訊號x(t)且頻寬為B,若對於此訊號進行取樣且取樣週期為Ts,則取樣後的訊號為:
xS(t) = x(t) x Σ (t - nTs)
請回答下列問題:
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
xs(t)的傅立葉轉換為何?(10分)
思路引導 VIP
本題考查「理想取樣（Impulse Sampling）」的頻域特性。解題核心在於運用傅立葉轉換的「時域相乘等同於頻域卷積」性質，先求出脈衝序列（Impulse train）的頻譜，再將其與原訊號頻譜進行卷積，即可得出取樣後頻譜為原頻譜的週期性延展。
小題 (一)
Σ (t - nTs) 的傅立葉轉換為何?(10分)
思路引導 VIP
本題測驗週期性脈衝串（Impulse Train 或 Dirac Comb）的傅立葉轉換。看到週期性訊號，首先應想到利用「傅立葉級數展開（Fourier Series Expansion）」將其化為複數指數函數的線性組合，再對等式兩邊取傅立葉轉換即可求得頻域表示式。
小題 (三)
從第(二)小題的結果中如何得到最小的取樣頻率?(5分)
思路引導 VIP
本題測驗奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem）的核心概念。考生應從理想取樣後的頻譜展開式出發，利用頻譜平移不發生混疊（Aliasing）的幾何關係，推導出取樣頻率與訊號頻寬的不等式，進而求得最小取樣頻率。
理想取樣之頻譜推導
💡 時域取樣等效於頻域以取樣頻率為週期之無限平移疊加。
🔗 取樣訊號傅立葉轉換推導流程
- 1 時域乘積定義 — 將基頻訊號 $x(t)$ 與理想脈衝序列 $p(t)$ 相乘
- 2 應用卷積定理 — 將時域乘法轉換為 $X(f)$ 與 $P(f)$ 的卷積
- 3 求脈衝轉換 — 求得脈衝序列之頻域形式為 $f_s \sum \delta(f - kf_s)$
- 4 執行卷積疊加 — 利用平移性質完成頻譜的週期複製與幅值縮放
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🔄 延伸學習：進一步討論混疊(Aliasing)發生的頻寬條件
