高考申論題
113年
[地震測報] 時序分析
第 一 題
📖 題組：
若時間序列h(t)的傅立葉轉換（Fourier Transform）為 $H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-j2\pi ft} dt$，其中 t 是時間，f 是頻率，j 是虛數(=√-1)，請回答下列問題：
若時間序列h(t)的傅立葉轉換（Fourier Transform）為 $H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-j2\pi ft} dt$，其中 t 是時間，f 是頻率，j 是虛數(=√-1)，請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請寫出其逆傅立葉轉換（Inverse Fourier Transform）的型式。（3 分）
思路引導 VIP
本題測驗傅立葉分析的最基礎定義。作答時需注意時域與頻域之間的映射關係，寫出逆轉換時務必檢查三大要素：積分變數為 df、積分上下限為負無限大至正無限大、指數項為正號（e^{j2$\pi ft}$）。
小題 (二)
請寫出其離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform）的型式（假設時間取樣為 T，N 個資料點數，n 表示第 n 個頻率資料點，k 表示第 k 個時間資料點）。（4 分）
思路引導 VIP
看到求離散傅立葉轉換（DFT）的題型，應聯想將連續積分轉換為有限項加總，並將時間 t 與頻率 f 進行離散化代換。特別注意本題的變數設定陷阱：務必依照題目指定，以 k 作為時間指標、n 作為頻率指標進行推導，並明確標註求和的上下限與變數範圍。
小題 (三)
若 h(t)是一純虛數（pure imaginary）時間序列，請證明其傅立葉轉換後，在頻率域的實部（Real part）是奇函數（odd function），而虛部（Imaginary part）是偶函數（even function）。（8 分）
思路引導 VIP
看到「純虛數時間序列」與「頻域的奇偶對稱性」，應立即聯想到利用尤拉公式（Euler's formula）將傅立葉轉換的複指數項展開。令 h(t) = j·g(t)（其中 g(t) 為實數函數），代入積分式後分離出實部與虛部，最後利用 sin 為奇函數、cos 為偶函數的性質即可輕鬆完成證明。
小題 (四)
若在頻率域（frequency domain）將訊號移動一個線性相位（Linear phase；頻率與相位成正比），待其逆轉回時間域（time domain）時，此時間序列會有何變化？（5 分）
思路引導 VIP
看到頻域加上線性相位，直覺應聯想到傅立葉轉換的「時間平移特性」（Time Shifting Property）。透過逆傅立葉轉換公式（Inverse Fourier Transform）代入帶有線性相位的頻譜函數，並進行指數項合併，即可證明時間域會產生相對應的平移。