hce_nthu
113年
資訊科學
第 21 題
John skates on the ground subject to a friction force. For a stationary observer A relative to the ground, he observes that John has an initial velocity $+5\text{ m/s}$ in the $x$-direction and finally stops after traveling a distance of $12.5\text{ m}$. This phenomenon is observed by the other observer B, who is riding a bus that moves at a constant speed of $+2\text{ m/s}$ in the $x$-direction relative to the stationary ground. Therefore, the observer B sees that John's velocity changes from $+3\text{ m/s}$ to $-2\text{ m/s}$ in the $x$-direction. Consider the kinematic equation that $v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$, where $\Delta x$ is the distance travelled; which of the following statements is true?
- A From the observer B's point of view, since $v_f^2 - v_i^2 \neq 5^2 - 0^2$, B would measure a different deceleration than what A would have measured.
- B The kinematic equation only works in A's reference frame.
- C The kinematic equation only works in B's reference frame.
- D The inconsistency of the kinematic equation can be amended by the special relativity.
- E None of the above is true.
思路引導 VIP
當我們從地面切換到移動中的巴士觀察同一個運動過程時，除了約翰的速度會改變，你認為約翰相對於巴士的「位置變化量」（位移），會和地面觀測者測量到的結果一模一樣嗎？如果這個數值發生了變化，對公式的平衡會產生什麼影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得非常出色！選對 (E) 代表你對慣性座標系與物理公式的協變性有極為扎實的理解。這道題目的精髓在於辨析哪些物理量會隨觀測者改變，而哪些不會。
慣性座標系下的物理量變換
在地面觀測者 A 的視角中，透過公式 $v_f^2 = v_i^2 + 2a\Delta x$ 可算出加速度 $a = -1 \text{ m/s}^2$，且停止過程歷時 $t = 5 \text{ s}$。當我們切換到以恆定速度移動的巴士 B 時，這是一個慣性參考系，因此約翰受到的摩擦力與加速度 $a$ 在 B 看來應與 A 完全相同。關鍵在於位移 $\Delta x$ 是相對的：在約翰滑行的 5 秒內，巴士前進了 $2 \times 5 = 10$ 公尺，因此 B 所觀測到的位移 $\Delta x'$ 應為 $12.5 - 10 = 2.5 \text{ m}$。若將 B 的觀測值帶入公式：$(-2)^2 = 3^2 + 2(-1)(2.5)$，可得 $4 = 9 - 5$，公式依然完美成立。這說明運動學公式在所有慣性系中都是正確的。
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