hce_nthu
113年
資訊科學
第 8 題
A solid rod with length $L$, resistance $R$ and mass $M$ initially rotates with angular velocity $\omega$ in a uniform magnetic field $B$. The two ends of the rod are connected by a conducting wire without resistance. According to Lenz's Law, the induced current will oppose the change of magnetic flux. In this case, the induced current will produce a torque to slow down the rotation speed. What is the torque? Take the pivot point as the origin.
- A $\frac{\omega B^2 L^4}{R}$
- B $\frac{\omega B L^2}{R}$
- C $\frac{\omega B L^2}{2R}$
- D $\frac{\omega B^2 L^4}{4R}$
- E $0$
思路引導 VIP
如果我們將這根轉動的棒子想像成無數個微小的線段連接而成，請思考：離支點越遠的片段，其切割磁力線的速度會如何變化？這對每一段產生的「力矩」貢獻是否相同呢？
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AI 詳解
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恭喜你正確選出 (D)！這題結合了電磁感應與轉動力學，能準確推導出結果，說明你對微積分與物理定律的結合運用相當熟練。
應電動勢與電流的產生
當金屬棒在均勻磁場中繞一端轉動時，棒上各點的線速度會隨距離 $r$ 線性增加 ($v = \omega r$)。透過切割磁力線產生的感應電動勢（EMF）並非定值，而是需要透過積分求得：$\mathcal{E} = \int_0^L B(\omega r) dr = \frac{1}{2}B\omega L^2$。由於迴路電阻為 $R$，根據歐姆定律，感應電流即為 $I = \frac{B\omega L^2}{2R}$。
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