地特三等申論題
114年
[測量製圖] 誤差理論及實務
第 一 題
一、請列式說明在最小二乘平差問題中，先驗單位權中誤差之數值大小與後驗單位權中誤差之數值大小的關係。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出考點為「最小二乘平差中的精度評估」。應先釐清「先驗單位權中誤差（σ₀）」與「後驗單位權中誤差（σ̂₀）」的定義。接著，列出後驗單位權中誤差的計算公式（涉及殘差的加權平方和與自由度）。核心論述應放在「這兩者在統計學上的理論期望關係」以及「實務上為何會有差異（模型不完備、含粗差、定權不當等）」。最後，建議提及如何利用「卡方檢定（Chi-square test）」來評估兩者差異的顯著性，這會讓論述更具深度。本題配分25分，建議作答時間約25-30分鐘。
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【考點分析】 本題主要考驗考生對最小二乘平差中「單位權中誤差」概念的理解，包含先驗與後驗的物理意義、數學關聯性，以及在平差模型檢定中的應用。 【理論/法規依據】
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先驗與後驗單位權中誤差
💡 比較平差前後精度基準，透過卡方檢定判斷模型與定權合理性。
| 比較維度 | 先驗單位權中誤差 (σ₀) | VS | 後驗單位權中誤差 (σ̂₀) |
|---|---|---|---|
| 取得時機 | 平差計算前 | — | 平差計算後 |
| 數值來源 | 儀器精度或經驗設定 | — | 由觀測殘差反算 |
| 主要用途 | 計算觀測值的權重 P | — | 檢驗模型與定權合理性 |
| 異常意義 | 設定過大則定權保守 | — | 大於先驗則可能有粗差 |
💬理論上 E(σ̂₀²) = σ₀²；實務上透過卡方檢定判斷兩者是否有顯著差異。
