地特三等申論題
114年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了 15 塊面積相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇 5 塊農地加以應用，三種灌溉方式所得產量資料整理後如下表： | 灌溉方式 | A | B | C | | --- | --- | --- | --- | | 樣本平均 | 15.4 | 18.4 | 28.4 | | 樣本變異數 | 9.3 | 20.8 | 18.3 | 經一因子變異數分析後，發現三種灌溉方式之產量確有顯著之差距，請回答下列問題：
某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了 15 塊面積相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇 5 塊農地加以應用，三種灌溉方式所得產量資料整理後如下表： | 灌溉方式 | A | B | C | | --- | --- | --- | --- | | 樣本平均 | 15.4 | 18.4 | 28.4 | | 樣本變異數 | 9.3 | 20.8 | 18.3 | 經一因子變異數分析後，發現三種灌溉方式之產量確有顯著之差距，請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請寫出一因子變異數分析之變異數分析表（含檢定三種灌溉方式之產量是否相同之檢定統計量值）。（10 分）
思路引導 VIP
本題為經典的一因子變異數分析（One-way ANOVA）ANOVA表計算。
- 統計背景：$k=3$ 個組別，每組樣本數 $n_j = 5$，總樣本 $N = 15$。
小題 (二)
因為一因子變異數分析顯示三種灌溉方式之產量顯著不同，請用費雪之最小顯著差異法（Fisher’s Least Significant Difference），以單一成對比較信心水準為 95%之基準下，判斷那幾組成對之兩種灌溉方式產量比較有顯著之不同。（10 分）
思路引導 VIP
本題考查事後比較（Post-hoc comparison）中的費雪最小顯著差異法（LSD）。
- LSD 的判斷公式為：$LSD = t_{\alpha/2}(df_E) \times \sqrt{MSE \times (\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j})}$。
小題 (三)
承(二)中之整體型一誤差機率為何（亦即產生至少一次型一誤差之機率）？若用邦佛洛尼校正法（Bonferroni correction）調整單一成對檢定之顯著水準，調整後之單一成對檢定之顯著水準以及整體型一誤差機率為何？（5 分）
思路引導 VIP
本題考查事後比較中多重比較（Multiple Comparisons）造成的「型一誤差膨脹」問題，以及如何使用 Bonferroni 校正控制整體誤差。
- 第一部分：進行 $c$ 次獨立檢定時，整體型一誤差（FWER）公式為 $\alpha_{FW} = 1 - (1 - \alpha_c)^c$。此處成對比較次數 $c = \binom{3}{2} = 3$，單一檢定顯著水準 $\alpha_c = 0.05$。