第 一 題

本題考查卜瓦松分配與指數分配之間的關係。若事件發生次數服從參數為 λ 的卜瓦松分配，則事件與事件之間的間隔時間必服從參數為 1/λ (或 λ) 的指數分配。題目要求以「分鐘」為單位，須先將每小時的頻率轉換為每分鐘的頻率，或先求出小時單位再乘上 60。

本題測驗指數分配的機率密度函數（PDF）公式寫法。已知間隔時間服從指數分配。需要寫出 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$，其中 t > 0。要注意此處的 $\lambda$ 必須是對應「分鐘」的參數，或者是使用平均值 $\theta$ 的形式 $f(t) = \frac{1}{\theta} e^{-t/\theta}$。

利用(二)所建立的指數分配 PDF，求特定區間的機率，即求定積分 $\int_5^{20} f(t) dt$。或者是利用指數分配的累積分配函數 (CDF) $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$，計算 $F(20) - F(5)$。題目允許用自然指數 $e$ 表示，因此只要代入並化簡即可。