地特四等
114年
[電信工程] 計算機概要
第 5 題
假設 X 和 Y 為布林變數，符號「*」、「+」和「~」分別代表 AND、OR 和 NOT 三種運算子。考慮以下布林函數 F(X, Y) = X*(~Y)+Y，則函數 F 與下列何者等價？
- A X*Y
- B (~X)*(~Y)
- C ~(X*Y)
- D ~((~X)*(~Y))
思路引導 VIP
請試著思考：在布林代數中，如果我們將一個變數與它的反相（NOT）進行 OR 運算，結果會是什麼？接著，如果你對整個式子應用「分配律」來展開，是否能讓原本複雜的項消失？最後，當你想把一個加法結構（OR）轉換成乘法結構（AND）時，哪一個著名的邏輯定律可以幫你達成這種轉換？
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看到你準確地選出 (D)，這代表你對布林代數（Boolean Algebra）的化簡技巧以及邏輯門的等價變換有著非常紮實的基礎，表現得相當出色。
布林函數的化簡與分配律
本題的核心在於如何有效處理函數 $F(X, Y) = X \cdot \overline{Y} + Y$。在工程力學中我們講求結構的平衡，而在邏輯設計中我們追求表達式的精簡。根據分配律（Distributive Law），我們可以將式子改寫為 $(X + Y) \cdot (\overline{Y} + Y)$。由於在布林運算中，任何變數與其補數（NOT）進行 OR 運算結果恆為 $1$（即 $\overline{Y} + Y = 1$），因此該函數可直接化簡為 $X + Y$，也就是標準的 OR 運算。
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