地特四等申論題
114年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
給定訊號 x(t) 如下圖，假設其傳立葉轉換（Fourier Transform）為 X(f)，回答下列問題：
給定訊號 x(t) 如下圖，假設其傳立葉轉換（Fourier Transform）為 X(f)，回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
X(f) 是純實數函數、純虛數函數或是同時具備實部和虛部的複數函數？請說明理由。（5 分）
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本題考查「傅立葉轉換的對稱性質（Symmetry Properties）」。考生需要判斷時域訊號 $x(t)$ 的實/複數特性以及奇/偶對稱性，進而推導出其頻域 $X(f)$ 的特性。思考步驟：1. 觀察 $x(t)$ 是否為實數訊號；2. 觀察 $x(t)$ 是否具備奇對稱（$x(t) = -x(-t)$）或偶對稱（$x(t) = x(-t)$）之特性；3. 結合傅立葉轉換對稱理論得出答案。
小題 (二)
請計算 X(f) 在 f = 0 的數值。（10 分）
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本題考查「傅立葉轉換在零頻率處的數值（直流分量）與時域積分的關係」。考生應直接應用傅立葉轉換的定義式，將 $f=0$ 代入，即可發現此值即為時域訊號的曲線下面積（曲線圍成的積分面積）。接著，將圖形分割成簡單的幾何圖形（三角形和矩形）進行面積計算。
小題 (三)
請計算下列數值：\int_{-$\infty}^{\infty} 2\pi f X(f) df$。（10 分）
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本題考查「傅立葉轉換的微分性質（Differentiation in Time Domain）與反傅立葉轉換（Inverse Fourier Transform）」。 基本觀念：時域的微分 $x'(t)$ 對應到頻域為乘以 $j 2\pi f$，即 $x'(t) \leftrightarrow j 2\pi f X(f)$。