普考申論題
114年
[土木工程] 材料力學概要
第 四 題
四、如圖4(a)之空心封閉薄壁壓力球體，圖4(b)為其剖面，球體內部半徑r = 0.6 m，球體壁厚t = 5 cm，球體內部氣體壓力 p =10 MPa。請求出此壓力容器壁體因內部氣壓而產生的最大正向應力，並求出壁體外側材料所受到的最大剪應力。又請問壁體內側及外側材料所受到的最大剪應力何者較大？（25 分）
📝 此題為申論題
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看到薄壁球形壓力容器，先確認 r/t 比值並利用 σ = pr/2t 求出切線方向的正向應力（主應力）。接著，務必聯想到「三維莫耳圓」，除了切線方向的主應力外，還需考慮徑向（厚度方向）的主應力：外表面無壓力故為 0，內表面受氣體壓力故為 -p，藉此計算絕對最大剪應力並進行內外側比較。
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【解題關鍵】薄壁球形壓力容器之正向應力公式（$\sigma = \frac{pr}{2t}$）以及三維應力狀態下絕對最大剪應力（$\tau_{max} = \frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2}$）之分析。 【解答】 已知條件：
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薄壁球形壓力容器分析
💡 利用薄壁公式計算膜應力，並結合徑向壓力進行三維剪應力分析。
| 比較維度 | 壁體外側材料 | VS | 壁體內側材料 |
|---|---|---|---|
| 切線應力 (σ1, σ2) | pr / 2t (張力) | — | pr / 2t (張力) |
| 徑向應力 (σ3) | 0 (自由表面) | — | -p (受氣體壓力) |
| 絕對最大剪應力 | σ / 2 | — | (σ + p) / 2 |
💬內側受內部氣體壓力作用，導致其應力圓直徑較大，故最大剪應力較大。
