高考申論題
114年
[天文] 天文觀測
第 二 題
📖 題組：
原恆星多深藏於分子雲的緻密核（dense core）內，無法直接觀測到。但其四周雲氣中的塵埃會吸收原恆星輻射的光，受熱後再輻射，所以觀測時可見的塵埃熱輻射，溫度可達 100 K，近似於黑體輻射。
提示：普朗克函數 $B_\nu(T) = (2h\nu^3 / c^2) \cdot (1 / (e^{h\nu/kT}-1))$，其中普朗克常數 $h = 6.63 \times 10^{-27}$ erg s，波茲曼常數 $k = 1.38 \times 10^{-16}$ erg $K^{-1}$，史蒂芬波茲曼常數 $\sigma = 5.67 \times 10^{-5}$ erg $s^{-1}$ $cm^{-2}$ $K^{-4}$。
原恆星多深藏於分子雲的緻密核（dense core）內，無法直接觀測到。但其四周雲氣中的塵埃會吸收原恆星輻射的光，受熱後再輻射，所以觀測時可見的塵埃熱輻射，溫度可達 100 K，近似於黑體輻射。
提示：普朗克函數 $B_\nu(T) = (2h\nu^3 / c^2) \cdot (1 / (e^{h\nu/kT}-1))$，其中普朗克常數 $h = 6.63 \times 10^{-27}$ erg s，波茲曼常數 $k = 1.38 \times 10^{-16}$ erg $K^{-1}$，史蒂芬波茲曼常數 $\sigma = 5.67 \times 10^{-5}$ erg $s^{-1}$ $cm^{-2}$ $K^{-4}$。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
若觀測一個緻密核發出的塵埃熱輻射，大小約為(40 ± 0.5)arcsec，溫度為100 ± 10 K，已知距離在(500 ± 25)秒差距，試估計其連續譜輻射流量（flux）的大小與誤差。（20 分）
思路引導 VIP
解題首先需確認目標的連續譜熱輻射可視為黑體輻射，利用斯特凡-波茲曼定律與角直徑求出『觀測輻射流量（Observed Flux）』。此過程應敏銳察覺『距離』在此是計算光度才需要的冗餘資訊（Distractor）。最後需運用標準的誤差傳遞公式（連乘積的相對誤差平方和），將溫度與角直徑的相對誤差合成出總誤差。
小題 (一)
請問該輻射峰值發生在什麼波段？（函數x=3(1-$e^{-x}$)的解為x=2.82）（10 分）
思路引導 VIP
看到此題，應意識到這是維恩位移定律在「頻率空間」的推導。需將給定的頻率版普朗克函數對頻率微分並令其為零以求取極值，從而導出題目提示的超越方程式。求出峰值頻率後，再換算為波長，即可準確判定所屬的電磁波段（注意：頻率空間與波長空間推導出的峰值波長會有所不同，必須嚴格遵循題意計算）。
輻射通量與誤差傳遞
💡 結合黑體輻射定律與幾何觀測量計算流量，並應用偏微分進行誤差估計。
🔗 輻射流量計算與誤差分析流程
- 1 物理建模 — 套用黑體輻射定律 $F = \sigma T^4$ 並結合小角度近似。
- 2 單位轉換 — 將觀測角直徑從 arcsec 轉換為 rad 單位。
- 3 流量求解 — 代入 $T$ 與 $\theta$ 求得觀測流量 $F$，辨識距離為冗餘資訊。
- 4 誤差傳遞 — 利用全微分或相對誤差平方和公式計算 $\Delta F$。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若題目要求「光度 (Luminosity)」，則必須使用距離 $d$ 進行計算。
