高考申論題
114年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
超過 5 成的企業預期未來幾年的 AI 人力需求將持續上升，特別是在生成式 AI 的應用下，相關產業的職缺將大幅增加。過去 20 個月的資料顯示市場對於 AI 人才之需求呈線性成長趨勢，今考慮需求人數 y 對時間之簡單線性模型，得到 $\sum y_i = 362, \sum i y_i = 4766, \sum y_i^2 = 7975, \sum(y_i - \hat{y}_i)^2 = 15.25$。 （每小題 10 分，共 30 分） (附有一殘差圖，縱軸為 residual，橫軸為 t)
超過 5 成的企業預期未來幾年的 AI 人力需求將持續上升，特別是在生成式 AI 的應用下，相關產業的職缺將大幅增加。過去 20 個月的資料顯示市場對於 AI 人才之需求呈線性成長趨勢，今考慮需求人數 y 對時間之簡單線性模型，得到 $\sum y_i = 362, \sum i y_i = 4766, \sum y_i^2 = 7975, \sum(y_i - \hat{y}_i)^2 = 15.25$。 （每小題 10 分，共 30 分） (附有一殘差圖，縱軸為 residual，橫軸為 t)
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試求回歸方程式。
思路引導 VIP
這是一道標準的簡單線性迴歸計算題。解題關鍵在於辨識出自變數為時間序列 $t=1, 2, \dots, 20$（對應題目中的 $i$），因此需自行運用等差級數公式推導時間變數的總和 $\sum t$ 與平方和 $\sum t^2$。接著利用常規的最小平方法（OLS）公式求出斜率與截距即可。題目中給定的殘差平方和在此求算迴歸線方程式的步驟中為多餘資訊。
小題 (二)
試寫出 ANOVA 表。
思路引導 VIP
建構 ANOVA 表的核心在於找出總平方和(SST)、迴歸平方和(SSR)與殘差平方和(SSE)，並確定對應的自由度。本題可透過未分組資料的平方和公式先求出 SST，再利用題目給定的殘差平方和(SSE)求出 SSR，最後計算均方(MS)與檢定統計量(F)。
小題 (三)
試寫出此模型之假設，並根據以下殘差圖說明模型假設是否合理。
思路引導 VIP
本題測驗簡單線性迴歸模型的基本假設與殘差分析。首先需完整列出誤差項的四大假設（常態、獨立、變異數同質、期望值為零）；接著觀察殘差圖隨時間 t 的分布，若呈現規律（如波浪、趨勢或群聚），即代表違反「獨立性」或模型配適不足。