高考申論題
114年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
三家 A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取 400、600 和 800 人，調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意 100 300 600 不願意 300 300 200 總和 400 600 800
三家 A、B、C 品牌之洗衣機用戶，各隨機抽取 400、600 和 800 人，調查其下次會再買同一品牌洗衣機之意願。調查數據如下： 意願\品牌 A B C 願意 100 300 600 不願意 300 300 200 總和 400 600 800
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。
⑴列出虛無假設 H0和對立假設 H1。（3 分）
⑵寫出檢定統計量及其在 H0為真下的分配。（5 分）
⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（3 分）
⑷計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（5 分）
⑴列出虛無假設 H0和對立假設 H1。（3 分）
⑵寫出檢定統計量及其在 H0為真下的分配。（5 分）
⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（3 分）
⑷計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（5 分）
思路引導 VIP
本題屬於類別資料的比例齊一性檢定（Test of Homogeneity of Proportions）。解題關鍵在於正確設定虛無與對立假設，計算各細格的期望次數，並利用卡方檢定統計量公式求出檢定值，最後比較臨界值與計算精確或概估之 p 值做出決策。
小題 (二)
若只有 A 和 B 兩種品牌，請檢定 A 和 B 品牌用戶下次購買相同品牌的比例是否相等。
⑴列出 H0和 H1。（3 分）
⑵請使用和(一)不同的檢定統計量，寫出其在 H0 為真下的分配。請說明何以為此分配。（6 分）
⑶計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（5 分）
⑴列出 H0和 H1。（3 分）
⑵請使用和(一)不同的檢定統計量，寫出其在 H0 為真下的分配。請說明何以為此分配。（6 分）
⑶計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗兩母體比例差異的檢定。看到檢定比例是否相等，應聯想到「雙樣本 Z 檢定」與等價的「卡方 ($\chi^2$) 齊一性檢定」。依題意要求使用「不同的檢定統計量」，可選用皮爾森卡方檢定作答，並運用中央極限定理說明其漸近卡方分配的性質。
小題 (三)
隨機抽取 1000 人，剛好 880 人為近視的機率（請以常態分配機率近似）。（12 分）
思路引導 VIP
看到「大樣本二項分配求機率」，首要聯想「常態分配近似二項分配」（依據中央極限定理）。此題的得分關鍵在於求離散變數的單點機率（X=880）時，務必要進行「連續性修正」（展開為 879.5 到 880.5 的區間），再求標準常態變數 Z 值。
小題 (四)
若隨機變數 Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出 Y 的機率分配函數。（6 分）
思路引導 VIP
看到「直到抽出第十位...的人數」，應立即聯想到「負二項分配（Negative Binomial Distribution）」。核心解題邏輯是拆解機率事件：最後一次抽取必為成功，且在前面的 y-1 次抽取中恰好發生 r-1 次成功，依此建立機率分配函數並標明其定義域。
📜 參考法條
附表一：Z 值表
附表三：X^2值表
多項比例檢定與齊一性
💡 檢定多個母體比例是否一致，利用卡方齊一性或 Z 檢定判別。
| 比較維度 | 卡方齊一性檢定 | VS | 兩獨立比例 Z 檢定 |
|---|---|---|---|
| 適用組數 | 2 組或 2 組以上 | — | 僅限 2 組 |
| 統計量分佈 | 卡方分佈 | — | 標準常態分佈 |
| 自由度/參數 | df = (r-1)(c-1) | — | 不須自由度 |
| 兩者關係 | Z 的平方即卡方值 | — | 與 df=1 卡方等價 |
💬兩者在處理兩組類別資料時結果一致，但卡方能延伸至多組比較。
