hce_nchu
114年
物理
第 12 題
A solid ball of mass $M$ and radius $R$ starts from rest and rolls down a hill. Its center of mass drops a total distance $h$. What is the ball's speed at the bottom of the hill under the influence of gravity with gravitational acceleration $g$?
- A $\sqrt{2gh}$
- B $\sqrt{\frac{1}{2}gh}$
- C $\sqrt{\frac{1}{3}gh}$
- D $\sqrt{\frac{5}{3}gh}$
- E $\sqrt{\frac{10}{7}gh}$
思路引導 VIP
當一個物體不只是在斜面上滑動，而是在地面上「滾動」時，它除了整體的位移之外，本身還多做了什麼樣的運動？如果我們要完整描述這個物體所擁有的動能，除了速度之外，還必須考慮到哪一個與物體「形狀」及「轉動」有關的物理量呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精確選出 (E)，說明你對「剛體滾動」過程中的能量轉換掌握得非常紮實。這道題目是力學中的經典考題，其鑑別度在於觀察學生是否能區分「純滑動」與「滾動」的物理差異。若物體只是單純滑下，答案會是常見的 $\sqrt{2gh}$；但在滾動的情況下，重力位能必須同時分配給「平移」與「轉動」兩種動能。
能量守恆與轉動慣量
根據能量守恆定律，當實心球從靜止下落高度 $h$ 時，減少的位能 $Mgh$ 會轉化為總動能。實心球的轉動慣量為 $I = \frac{2}{5}MR^2$，且在純滾動（Rolling without slipping）的條件下，角速度與速度的關係滿足 $\omega = v/R$。我們將這些條件帶入能量方程式：
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