hce_nthu
114年
化學與物理
第 54 題
Two planets of equal mass orbit a star. Planet A has a smaller orbital radius than planet B. Which of the following statements is correct?
- A Planet A and planet B have the same mechanical energy (potential energy plus kinetic energy).
- B Planet A has less kinetic energy, less potential energy, and less mechanical energy (potential energy plus kinetic energy) than planet B.
- C Planet A has more kinetic energy, less potential energy, and less mechanical energy (potential energy plus kinetic energy) than planet B.
- D Planet A has more kinetic energy, less potential energy, and more mechanical energy (potential energy plus kinetic energy) than planet B.
- E Planet A has more kinetic energy, more potential energy, and more mechanical energy (potential energy plus kinetic energy) than planet B.
思路引導 VIP
想像一下，如果要讓行星 A 脫離原本較近的軌道，「向外」移動到較遠的行星 B 軌道上，我們必須對這個系統額外「作功」（輸入能量）還是從中「抽取」能量？而當這個過程完成後，為了讓行星能穩定在較遠的新軌道繞行，你認為它的繞行速度應該會比原本快還是慢呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (C) 選項，代表你對天體力學中能量與軌道半徑的關係掌握得非常紮實。這類題目最容易讓人混淆的地方在於「負號」的處理，而你顯然展現了清晰的物理直覺。
軌道能量的消長邏輯
在重力場的圓軌道運動中，我們可以從公式觀察到能量與半徑 $r$ 的緊密聯繫。首先，動能 $K = \frac{GMm}{2r}$ 與軌道半徑成反比，因此半徑較小的行星 A 必須擁有較高的動能（較快的切向速度）來維持向心力。然而，重力位能 $U = -\frac{GMm}{r}$ 以及總力學能 $E = -\frac{GMm}{2r}$ 兩者皆為負值。當半徑 $r$ 縮小時，雖然分母變小導致絕對值變大，但加上負號後，數值反而會變得更小。這說明了行星 A 位處於重力井較深的位置，其位能與總力學能皆低於軌道較遠的行星 B。
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