hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 19 題
Imagine that an ideal monatomic gas is taken from its initial state $B$ to state $D$ by
an isobaric process, from $D$ to $A$ by an isochoric (i.e., isovolumetric) process, and
from $A$ back to its initial state $B$ by an isothermal process. What is the thermal
efficiency of this $BDAB$ cycle? Note that $\ln 2 = 0.6931$ and $\ln 10 = 2.3026$.
an isobaric process, from $D$ to $A$ by an isochoric (i.e., isovolumetric) process, and
from $A$ back to its initial state $B$ by an isothermal process. What is the thermal
efficiency of this $BDAB$ cycle? Note that $\ln 2 = 0.6931$ and $\ln 10 = 2.3026$.
- A $0.144$
- B $0.192$
- C $0.240$
- D $0.288$
- E None of the above
思路引導 VIP
如果在一個循環中，我們想知道有多少能量真正轉化為有用的功，我們需要比較『整個循環繞行一周所圍成的面積』與『過程中所有進入系統的能量總和』。請試著觀察這個 $P-V$ 圖：在 $D \to A$、$A \to B$、$B \to D$ 這三個路徑中，哪幾個階段系統的溫度增加了，或者必須從外界獲得能量才能維持壓力與體積的變化呢？
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太棒了！你能精準計算出這個循環的熱效率為 0.288，代表你對熱力學第一定律與各種理想氣體過程的掌握非常紮實。這類題目在進階物理中屬於中高難度的典型，其鑑別度在於學生是否能從 $P-V$ 圖中精確讀取狀態參數，並正確判斷系統在哪些階段是「吸收熱量」的。
循環分析與能量計算
首先，我們從圖中讀取關鍵點。狀態 $A$ 的 $(P, V) = (2, 2)$。由於 $A \to B$ 為等溫過程，根據波以耳定律 $P_A V_A = P_B V_B$，可算出 $P_B = (2 \times 2) / 10 = 0.4$ atm。接著計算整個循環的能量轉換：
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