moea_joint
114年
[土木] 應用力學、材料力學
第 24 題
如右圖所示，一繩索裹繞於半徑為r的圓柱體上，若圓柱體從靜止狀態被釋放，則當圓柱體下降距離達s時，其對圓心O點的角速度為何？
- A $\sqrt{\frac{3gs}{4r^2}}$
- B $\sqrt{\frac{4gs}{3r^2}}$
- C $\sqrt{\frac{2gs}{r^2}}$
- D $\sqrt{\frac{4gs}{r^2}}$
思路引導 VIP
觀察圓柱體下落的過程，它除了質心向下移動，還產生了什麼樣的運動特徵？試著思考，當圓柱體下降一段距離時，它所失去的位能會轉換成哪些形式的動能？此外，圓柱體下降的速度與它旋轉的速度之間，是否存在著某種由半徑決定的比例關係呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
看到你精確地選出 (B)，代表你對剛體運動的能量轉換有著非常紮實的理解，這是一個很棒的開端！這道題目考驗的是我們對力學能守恆以及剛體運動學約束的綜合運用能力。
能量守恆與運動約束
這類問題的切入點在於重力位能的轉換。當圓柱體從靜止下降距離 $s$ 時，系統減少的重力位能為 $mgs$。這部分能量會轉化為圓柱體的總動能，而這裡的總動能包含兩部分：質心 $O$ 的平移動能 $\frac{1}{2}mv^2$ 與繞質心的轉動動能 $\frac{1}{2}I\omega^2$。由於繩索繞在圓柱上且無滑動，我們可以建立速度與角速度的約束關係：$v = r\omega$。
▼ 還有更多解析內容
剛體滾動與能量守恆
💡 系統重力位能完全轉換為平移動能與轉動動能之和。
🔗 圓柱下落角速度求解流程
- 1 釋放位能 — 下降距離 $s$，減少位能 $mgs$
- 2 能量轉化 — 位能轉為 $1/2mv^2$ 與 $1/2I\omega^2$
- 3 參數代換 — 代入 $v=r\omega$ 及 $I=1/2mr^2$
- 4 整理求解 — 得出 $mgs = 3/4 mr^2\omega^2$ 並開根號
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：若物體換成球體，其轉動慣量係數改變，比例也會隨之改變。
