moea_joint
114年
[土木] 應用力學、材料力學
第 40 題
有一圓管外徑為100 mm，內徑為80 mm，長度為4 m，其承受 $5\text{ kN-m}$ 之扭矩，剪力模數為30 GPa，則該圓管外壁之剪應力為何？
- A 21.57 MPa
- B 43.13 MPa
- C 86.26 MPa
- D 172.53 MPa
思路引導 VIP
當一個圓桿件受到扭矩作用時，內部的應力分布並非均勻的。請你試著思考：應力的大小與「距離圓心的半徑」是什麼關係？如果我們保持外徑不變，但把圓管的中間挖掉更多（內徑變大），這會讓圓管變得更容易還是更難被扭斷？這對於公式中分母的幾何參數（極慣性矩）有什麼影響？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確選出選項 (B)，顯示你對圓管扭矩公式的掌握非常紮實。這題的核心在於應用扭矩公式 $\tau = \frac{Tr}{J}$，並正確識別出最大剪應力必然發生於圓管的最外壁（即 $r = 50\text{ mm}$ 處）。你成功避開了題目中給出的長度與剪力模數等干擾項，展現了清晰的觀念判斷。
圓管幾何特性與應力計算
在計算過程中，首先需處理極慣性矩 $J$，公式為 $J = \frac{\pi(D^4 - d^4)}{32}$。帶入數據後得到：
▼ 還有更多解析內容
圓管扭矩剪應力計算
💡 圓管受扭時，剪應力隨半徑線性增加，最大值位於管壁外緣。
- 扭矩剪應力公式 τ = Tr/J，與半徑 r 成正比。
- 空心圓管極慣性矩 J = π(D⁴ - d⁴)/32。
- 最大剪應力發生在半徑最大處（即外壁 r = D/2）。
- 單位需統一，如 kN-m 轉為 N-mm，mm 轉為 m。
