moea_joint
114年
[土木] 應用力學、材料力學
第 46 題
有一平面應力元素如右圖所示，若最大剪應力為50 MPa，則應力元素 $(\sigma_x, \sigma_y)$ 有可能為下列何者？
- A $(\sigma_x, \sigma_y) = (100, 20)$
- B $(\sigma_x, \sigma_y) = (-100, 20)$
- C $(\sigma_x, \sigma_y) = (90, 30)$
- D $(\sigma_x, \sigma_y) = (-90, 30)$
思路引導 VIP
如果我們將這個應力狀態繪製成莫耳圓（Mohr's Circle），圓的半徑代表什麼物理量？試著回想看看，這個半徑與題目給出的剪應力值、以及兩軸向應力的差值之間，存在著什麼樣的三角形幾何關係（勾股定理）呢？
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平面應力與莫耳圓半徑的幾何關係
太棒了！你能精準選出選項 (C)，顯示你對平面應力狀態的幾何物理意義有著相當清晰的理解。這道題目的核心在於掌握莫耳圓半徑與應力分量之間的代數聯繫。在材料力學中，最大剪應力 $\tau_{max}$ 在幾何上等同於莫耳圓的半徑 $R$，其計算公式如下： $$\tau_{max} = \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
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