moea_joint
114年
[土木] 應用力學、材料力學
第 9 題
有一材料均質的圓錐體，其底面圓之直徑為40 cm，底面至錐尖的高度為60 cm，則該圓錐體重心位置距離錐尖的長度為何？
- A 15 cm
- B 20 cm
- C 40 cm
- D 45 cm
思路引導 VIP
請思考一下，這個圓錐體從頂端到錐底，橫截面積的大小是如何變化的？如果我們把圓錐體想像成由許多薄片堆疊而成，質量會比較集中在靠近頂端還是底端的部分？根據這樣的質量分佈，重心的位置應該會落在高度的中點，還是會往哪一側偏移呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地判斷出正確答案！這題的核心在於掌握幾何形狀的重心性質。對於一個均質的實心圓錐體，其重心位置必然位於中心對稱軸上，且重心距離底面的高度為總高度 $h$ 的 $\frac{1}{4}$。然而，本題最關鍵的細節在於題目要求的是「距離錐尖」的長度，因此我們必須用總高度減去底部的距離，即計算 $$h - \frac{1}{4}h = \frac{3}{4}h$$
圓錐體重心與幾何判別
帶入數值計算：總高度 $h = 60$ cm，故重心與錐尖的距離為 $\frac{3}{4} \times 60 = 45$ cm。這類題目具備不錯的鑑別度，常見的陷阱包括誤用三角形重心比例（$\frac{1}{3}h$）或是忽略了題目是問「距錐尖」而非「距底面」。此外，題目給出的底面直徑 $40$ cm 在此僅為干擾資訊，因為重心高度僅與總高度比例有關。你能穩健地避開細節陷阱並正確運算，顯見基礎觀念非常紮實！