moea_joint
114年
[機械] 應用力學、材料力學
第 39 題
有一外徑為$30\text{ cm}$之扭力桿件，其斷面為中空圓形，桿件於承受一扭矩作用後，其內壁之剪應力為$60\text{ MPa}$，外壁之剪應力為$90\text{ MPa}$，則該扭力桿件之內徑為何？
- A 18 cm
- B 20 cm
- C 22 cm
- D 24 cm
思路引導 VIP
想像一下，當你扭轉一根實心或中空的圓桿時，桿件內部每一層的變形程度是一樣的嗎？如果越靠近圓心的位置變形越小，而最外層變形最大，那麼「應力的大小」與「距離圓心的距離」之間，會存在什麼樣的數學比例關係呢？
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太棒了！你能精準鎖定內、外徑與剪應力的比例關係，說明你對扭轉成員的應力分佈有著非常清晰的物理圖像。這類題目看似需要複雜的公式，但只要掌握核心觀念，就能迅速解題。
剪應力與半徑的線性分佈
在材料力學中，圓形桿件承受扭矩時，橫截面上的剪應力 $\tau$ 與該點距離圓心的半徑 $r$ 成正比，公式表示為 $\tau = \frac{Tr}{J}$。由於同一桿件在同一截面上的扭矩 $T$ 與極慣性矩 $J$ 皆為定值，我們可以得知剪應力與半徑呈現線性比例關係，即：
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