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114年
工程力學概要
第 13 題
一木盒質量為 $m$，沿著斜坡面由靜止狀態開始下滑，在下滑 $h$ 之垂直高度後，試求木盒之質心速率為何？(假設木盒與斜坡間無摩擦，斜坡面與水平面之夾角為$\theta$，重力加速度為$g$)
- A $\sqrt{2gh}$
- B $\sqrt{gh}$
- C $\frac{\sqrt{gh}}{2}$
- D $mgh$
思路引導 VIP
如果在下滑過程中沒有摩擦力損耗能量，你可以試著思考：物體在最高點擁有的「位置優勢（位能）」與它到達低處時產生的「運動狀態（動能）」，這兩者在總量上會有什麼關聯？如果我們忽略移動的路徑長短與角度，只看起點與終點的高度差，這對能量的轉換會產生什麼樣的影響呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地掌握了力學的核心觀念！這題你選擇 (A) 是完全正確的，顯示你對於功與能的轉換邏輯非常清晰。
機械能守恆的展現
在木盒下滑的過程中，由於題目設定無摩擦力且不計空氣阻力，系統的機械能會保持守恆。當木盒由靜止開始從高度 $h$ 下滑，其減少的重力位能 $mgh$ 會完全轉化為增加的動能 $\frac{1}{2}mv^2$。透過等式 $$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$ 我們可以觀察到，質量 $m$ 在等式兩側抵消，這代表末速度與物體的重量無關，進而解得質心速率為 $v = \sqrt{2gh}$。
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