普考申論題
115年
[統計] 統計學概要
第 二 題
📖 題組：
二、AI 正從螢幕虛擬層面跨足實體世界。亞馬遜與寶馬等巨頭透過 AI 調度物流機器人，實現倉儲與生產線的自主作業，大幅優化生產效率與精確度。在某自動化智慧倉儲中，大量物流機器人負責搬運貨物。根據大數據監控，每台機器人在執行單次精密對接任務時，成功的機率為 p，且已知每次任務成功與否彼此相互獨立。（每小題 10 分，共 20 分）
二、AI 正從螢幕虛擬層面跨足實體世界。亞馬遜與寶馬等巨頭透過 AI 調度物流機器人，實現倉儲與生產線的自主作業，大幅優化生產效率與精確度。在某自動化智慧倉儲中，大量物流機器人負責搬運貨物。根據大數據監控，每台機器人在執行單次精密對接任務時，成功的機率為 p，且已知每次任務成功與否彼此相互獨立。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
令變數 W 為該機器人「直到發生第二次對接成功時，期間所累積的失敗次數」，求出 W 之期望值。
思路引導 VIP
看到「直到發生第 r 次成功時，所累積的失敗次數」，這就是負二項分配（Negative Binomial Distribution）的標準定義。本題 r=2，單次成功機率為 p。直接引用負二項分配的期望值公式 $E(W) = r \times \frac{1-p}{p}$ 即可。
小題 (一)
令變數 R 為該機器人「直到第一次對接失敗為止，所需對接次數」。假設有 n 台獨立運作的機器人，其直到第一次對接失敗為止所需對接次數，分別定義為 $R_1, R_2, ..., R_n$。請利用隨機樣本 $R_1, R_2, ..., R_n$，求出該機器人能連續穩定運作了 50 次任務而未出錯之下，但在接下來的 2 次任務內會出錯的條件機率 $P[R \le 52 | R > 50]$ 的動差法估計量（method of moments estimator）。
思路引導 VIP
本題結合了機率分配、無記憶性與點估計。首先要確定 R 服從什麼分配？「直到第一次『失敗』為止所需次數」，這符合幾何分配。成功事件是「對接失敗」，機率為 $1-p$。接著要利用動差法，利用母體期望值與樣本平均數 $\bar{R}$ 解出 p 的估計量 $\hat{p}$。最後，利用幾何分配的無記憶性化簡條件機率 $P[R \le 52 | R > 50]$，並將 $\hat{p}$ 帶入得到最終動差估計量。