高考申論題
115年
[機械工程] 流體力學與工程力學
第 一 題
📖 題組：
一、空氣與水均為牛頓流體（Newtonian fluids）的代表，其運動方程式為著名的 Navier-Stokes 方程式，若在直角座標系(x, y)上描述一個二維流場，其方程式如下： ρ(∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y) = -∂p/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) + ρgx ρ(∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y) = -∂p/∂y + μ(∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²) + ρgy 其中u(t, x, y)及v(t, x, y)為x-與 y-方向上的速度函數， p(t, x, y)為流場壓力分布，ρ 為流體密度，μ為流體黏滯係數，gx與gy則為兩方向的單位質量的重力分量。
一、空氣與水均為牛頓流體（Newtonian fluids）的代表，其運動方程式為著名的 Navier-Stokes 方程式，若在直角座標系(x, y)上描述一個二維流場，其方程式如下： ρ(∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y) = -∂p/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) + ρgx ρ(∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y) = -∂p/∂y + μ(∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²) + ρgy 其中u(t, x, y)及v(t, x, y)為x-與 y-方向上的速度函數， p(t, x, y)為流場壓力分布，ρ 為流體密度，μ為流體黏滯係數，gx與gy則為兩方向的單位質量的重力分量。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
何謂牛頓流體？其剪切應力表示式為何？（4 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要回想流體力學中最基本的定義。需精確敘述牛頓流體的特徵，即剪應力與剪應變率（或速度梯度）之間的線性關係。接著寫出經典的牛頓黏性定律數學式，並說明式中符號的意義。
小題 (二)
現有三個未知數，請問 Navier-Stokes 方程式足夠求解嗎？應如何處理？（4 分）
思路引導 VIP
這是一道觀念題。Navier-Stokes只有動量方程式(x, y兩個方向)，總共只有兩條方程式，但有 u, v, p 三個未知數，數學上無法封閉求解。必須引進另一個守恆律，即質量守恆（連續方程式）來湊足三條方程式。
小題 (三)
請由重力分量的因次來推導黏滯係數的因次。請以大寫 M、L、T 代表質量、長度及時間因次；若需要更多的因次，請自行定義符號。（6 分）
思路引導 VIP
因次分析（Dimensional Analysis）。從重力項 ρgx 出發找出其因次，再利用方程式中每一項因次必須相同的「因次齊一性原理」，推導黏滯項中 μ 的因次。列出每一步的推導過程。
小題 (四)
請問流體在x方向運動時可能受到的剪切應力對應到上述方程式中的那些項次？請解釋該項次的動力學意義。（6 分）
思路引導 VIP
需將 Navier-Stokes equation 與微小流體元素的受力做連結。方程式右側是流體受到的表面力與體積力。含有黏滯係數 μ 的項代表黏滯表面力。特別指出這些項次所代表的「單位體積受到的淨黏滯力」。