高考申論題
115年
[氣象] 大氣動力學
第 五 題
五、預報模式常使用的平流方法，包含一階的上游法（upstream scheme）及二階的跳蛙法（leapfrog scheme），試針對一維線性平流方程式，寫出二者的有限差分格式（設平流速度 c，時間步驟，網格間距），說明其CFL 穩定度條件，以及對被平流量的長短波的振幅與相位的相對保守情況。此外，如何將一階上游法改為一種半拉格朗日法（semi-Lagrangian scheme），並說明可以解除穩定度條件限制，對於正質量（如水氣）平流，亦不會產生負值。（20 分）
📝 此題為申論題
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本題為數值天氣預報的基礎考題。1. 需寫出一維線性平流方程式 ($du/dt + c du/dx = 0$)，然後給出上游法與跳蛙法的差分格式。注意上游法依賴於波速 $c$ 的正負（假設 $c>0$ 進行推導），跳蛙法為中央差分。2. 穩定度條件：兩者皆為 CFL 條件 $|c \Delta t / \Delta x| \le 1$。3. 誤差分析：上游法有一階截斷誤差，具強烈的人工耗散（數值擴散），會嚴重衰減短波振幅，相位存在相延遲。跳蛙法無人工耗散（振幅保守），但有相位誤差（計算波速較慢，短波色散嚴重），且會產生運算模態（Computational mode）。4. 半拉格朗日法：上游法是尋找上一個時間步長的空間點，半拉格朗日法則不限於相鄰網格，而是沿著特徵線回溯尋找起始點，即使出發點跨越多個網格（即 $|c \Delta t / \Delta x| > 1$），只要內插得當，就絕對穩定，解除了 CFL 限制。對於水氣，因是直接從上游某點取值（內插），只要內插法不產生過衝（如線性內插），就不會出現負值。
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【考點分析】 本題測驗數值天氣預報模式中計算平流項的有限差分方法（Finite Difference Methods）。核心考點包括：一階上游法與二階跳蛙法的差分格式、Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 穩定度條件、數值耗散與色散誤差分析（對振幅與相位的影響），以及半拉格朗日法（Semi-Lagrangian）的物理概念與優勢。 【理論/法規依據】
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