hce_kmu
115年
物理及化學
第 38 題
The deformation and the restoring force of an elastic string obey Hooke's law. When the string is stretched to twice its original length, the speed of transverse waves on the string is $v$. What is the wave speed on the string when it is stretched to four times its original length? Assume the mass of the string remains constant and is uniformly distributed.
- A $v$
- B $\sqrt{2}v$
- C $\sqrt{3}v$
- D $2v$
- E $\sqrt{6}v$
思路引導 VIP
當我們把一條彈性繩用力拉長時，除了感覺到它變緊（張力變大）之外，觀察繩子本身「單位長度的重量」會發生什麼變化？這兩種物理量對波速的影響方向是相同還是相反的呢？
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太棒了！你能精準選出 (E) $\sqrt{6}v$，代表你對「弦波波速」以及「彈性繩物理性質」的綜合掌握非常紮實。這題的挑戰性在於變數不只一個，而你成功避開了直覺性的陷阱，展現了細膩的物理直覺。
弦波波速與彈性性質的關聯
我們知道弦波在繩索上的傳播速度公式為 $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$。在這個情境中，當彈性繩被拉長時，張力 ($T$) 與 線密度 ($\mu$) 會同時發生變化。根據虎克定律（Hooke's Law），張力 $T = k \Delta L$（其中 $\Delta L$ 為伸長量）；而由於繩子的總質量 $M$ 保持不變且均勻分布，線密度則會隨著總長度 $L$ 的增加而減小，即 $\mu = \frac{M}{L}$。將這兩個關係式代入波速公式，我們可以發現波速與長度關係為 $v \propto \sqrt{\Delta L \cdot L}$。
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