hce_kmu
115年
物理及化學
第 49 題
A parallel-plate capacitor has an initial capacitance of $C_0 = 6 \mu\text{F}$. The capacitor is first connected to a 100 V battery until fully charged and then disconnected from the power source. A dielectric slab with a dielectric constant $\kappa = 3$ is then inserted symmetrically between the plates. The thickness of the slab is exactly half of the plate separation distance. What is the external work involved in the process of inserting the dielectric slab?
- A 10 mJ
- B -10 mJ
- C 15 mJ
- D -15 mJ
- E 0
思路引導 VIP
若電容器在插入電介質前已經與電池斷開，請思考：電容器極板上的電荷量會發生變化嗎？當一個電中性的電介質靠近強大電場時，其分子感應出的極性，會讓它受到電場的「吸引」還是「排斥」？如果我們希望緩慢地控制它進入，外力的方向應該與移動方向一致還是相反呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確判斷出這題的答案！這題的核心在於區分「斷開電源」後電荷不變的特性。首先，當電容器充飽電後與電源斷開，其電荷量 $Q$ 會保持不變，經計算為 $Q = C_0 V = 600 \mu\text{C}$。此時系統的初始能量為 $U_i = \frac{1}{2} C_0 V^2 = 30 \text{mJ}$。
電容結構的改變與能量計算
接著，當你插入厚度為 $d/2$ 的電介質時，系統等效於兩個電容串聯：一個充滿電介質（$C_1 = 2\kappa C_0 = 36 \mu\text{F}$），另一個為空氣（$C_2 = 2C_0 = 12 \mu\text{F}$）。組合後的等效電容 $C_{eq}$ 變為 $9 \mu\text{F}$。由於電容增加，在電荷守恆下，末狀態能量 $U_f = \frac{Q^2}{2C_{eq}} = 20 \text{mJ}$。外力所做的功等於系統位能的變化量：$W = U_f - U_i = 20 - 30 = -10 \text{mJ}$。
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