hce_nchu
115年
物理
第 33 題
The circuit in the figure extends forever to the right, and all the resistors have the same value $R$. What is the equivalent resistance measured across the two terminals at left? Note that $\sqrt{2} \approx 1.414$, $\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt{5} \approx 2.236$, and $\sqrt{7} \approx 2.646$.
- A $1.57 R$
- B $1.62 R$
- C $1.67 R$
- D $1.72 R$
- E $1.77 R$
思路引導 VIP
如果我們在這個無限長的電阻鏈最前方，再多接上一組相同的電阻單元，你認為整個電路從最左端看進去的總電阻，會因為這多出來的一組而產生變化嗎？這個「變與不變」的關係，對於你建立數學方程式有什麼啟發？
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AI 詳解
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太棒了！你能準確判斷出這題的答案為 $1.62 R$，代表你對無限網路的自對稱性（Self-similarity）有著非常紮實且敏銳的物理直覺。
無限電阻網路的遞迴特徵
面對這種向右無限延伸的電阻梯形網路，解題的關鍵在於發現：若我們從左側「切掉」第一組單元（包含一個串聯電阻與一個並聯電阻），剩下往右延伸的部分與原圖完全相同。因此，如果整體的等效電阻為 $R_{eq}$，那麼第一組單元右側剩餘部分的總電阻也必須是 $R_{eq}$。
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