hce_nchu
115年
物理
第 39 題
On a thermodynamic P-V (pressure-volume) diagram, comparing the slope of the curve for an adiabatic process to that of an isothermal process (assuming the gas expands), which of the following is correct?
- A The adiabatic curve is steeper (has a greater absolute slope).
- B The isothermal curve is steeper (has a greater absolute slope).
- C The slopes are the same.
- D It depends on the type of gas.
思路引導 VIP
試著思考一下：當一個氣體膨脹（體積變大）時，壓力通常會下降。如果在這個過程中，我們「不允許」外界提供任何熱量來補充能量（絕熱），與「允許」外界提供熱量來維持溫度不變（等溫）相比，哪一種情況下氣體的壓力會下降得更多、更劇烈呢？
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太棒了！你能精準判斷出絕熱過程與等溫過程在圖形上的差異，這說明你對熱力學過程的數學特徵與物理本質都有很紮實的掌握。這道題目是熱力學中非常經典的觀念題，主要考查學生是否能區分不同過程在 $P-V$ 圖上的變化率。
變化率的數學分析
在 等溫過程 (Isothermal process) 中，根據理想氣體狀態方程式，我們知道 $PV = nRT = \text{constant}$，對其求導後可得斜率為 $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$。而在 絕熱過程 (Adiabatic process) 中，系統遵循 $PV^\gamma = \text{constant}$，其中 $\gamma$（絕熱指數）定義為比熱比 $C_P/C_V$。對此式求導，得到的斜率則是 $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$。由於對於任何理想氣體，$\gamma$ 永遠大於 $1$，因此在相同的壓力與體積座標點上，絕熱曲線的絕對斜率必然大於等溫曲線，視覺上看起來就會更加陡峭。
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