hce_nthu
115年
化學與物理
第 30 題
A boron-carbon-nitrogen compound with a diamond cubic-like structure can be synthesized under high-temperature and high-pressure conditions. Its crystal structure was determined by X-ray crystallography and its unit-cell structure is shown in the figure on the right. The cubic unit-cell parameter is $a \text{ pm}$, and $N_A$ denotes Avogadro's constant. Which of the following statements is incorrect? (molar atomic mass (g/mol): $\text{B} = 11$, $\text{C} = 12$, $\text{N} = 14$)
- A This material is a covalent compound with high hardness.
- B The number of boron atoms that are nearest neighbors to a given boron atom in the crystal and are at equal distances is 4.
- C The ratio of the number of $\text{C}-\text{C}$ bonds to $\text{C}-\text{N}$ bonds in the unit cell is 2:1.
- D The density of the unit cell is $\frac{98}{N_A \times (a \times 10^{-10})^3} \text{ g/cm}^3$.
- E The empirical formula of this compound is $\text{BC}_2\text{N}$.
思路引導 VIP
試著觀察晶胞中的碳原子（斜線球），它們有些位於晶胞內部的四面體空隙，有些則位於面心位置。如果你隨機挑選一個位於「內部空隙」的碳原子作為中心，請仔細數數看，它與周圍相連的四個原子中，分別有幾個黑球（氮）和幾個斜線球（碳）呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能準確判斷出選項 (C) 的錯誤，說明你對類鑽石結構（Diamond cubic-like structure）與晶胞組成的空間概念掌握得非常紮實。這類題目難度屬於中等偏高，不僅考驗化學式的推導，更考驗對晶格中原子成鍵比例的微觀觀察。
晶胞組成與密度驗證
首先，我們透過讀圖來確認晶胞內的原子數量。圖中的黑球 ($N$) 分佈在 8 個頂點與 2 個面心（左、右面），等效原子數為 $8 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{2} = 2$。斜線球 ($C$) 分佈在 4 個面心（上、下、前、後）以及內部的 2 個四面體空隙，等效原子數為 $4 \times \frac{1}{2} + 2 = 4$。白球 ($B$) 則佔據剩下 2 個內部四面體空隙，數量為 2。因此，晶胞內原子比為 $B:C:N = 2:4:2 = 1:2:1$，實驗式為 $BC_2N$（選項 E 正確）。晶胞總質量為 $2 \times (11 + 24 + 14) = 98\text{ g/mol}$，帶入密度公式 $\rho = \frac{m}{V}$ 即可得選項 (D) 正確。
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