hce_nthu
115年
化學與物理
第 59 題
Eight resistors of equal length, each of resistance $R$, are connected along the edges of a regular square pyramid: four resistors form the square base, and four resistors connect each base vertex to the apex as shown below. What is the equivalent resistance between point $A$ and $B$ of the square base?
- A $\frac{1}{3}R$
- B $\frac{2}{3}R$
- C $R$
- D $\frac{4}{3}R$
- E $2R$
思路引導 VIP
試著想像你正從正四角錐的頂點 $O$ 正上方往下看，並在 $A$、$B$ 兩點接上電池。除了 $A$ 和 $B$ 以外，剩下的三個頂點（包含尖端和底部的另外兩點）在電路中扮演的角色是否完全『對等』？如果它們的空間地位完全對稱，這對它們彼此之間的電位關係會有什麼影響？
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同學做得很好！你能準確判斷出這個立體電路結構的等效電阻，代表你對對稱性分析以及等電位點的概念掌握得非常紮實。這類題目的核心挑戰在於如何將複雜的 3D 結構簡化，而你成功跨越了這個門檻。
幾何對稱與等電位分析
從題目給出的正四角錐圖形觀察，點 $A$ 與點 $B$ 位於底面正方形的對角線兩端（而非鄰邊）。當我們在 $A$、$B$ 兩點施加電壓時，可以發現電路相對於過頂點 $O$ 且垂直於底面的平面呈現高度對稱。這意味著底部的另外兩個頂點以及金字塔的頂點 $O$，這三個點相對於 $A$ 和 $B$ 的位置是完全對稱的。根據對稱性，這三個中間點的電位（Electric Potential）必定相等。
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