司法三等申論題
115年
[心理測驗員] 心理及教育統計學
第 一 題
📖 題組：
進行多元迴歸分析時，如果使用 X1, X2, X3, X4, X5當預測變項（predictor variables）來預測效標變項 Y（criterion variable），使用總樣本人數為 100人，請回答下列問題：（每小題 5 分，共 25 分）
(一) sum of square for regression（SSR）相對應的自由度是多少？
(二) sum of square for error（SSE）相對應的自由度是多少？
(三)如果 MSE（mean square for error）= 100，請問估計標準誤（standard error of estimate）是多少？
(四) ∑(Y - Ŷ)² 是多少？（註：Ŷ為Y的fitted value）
(五) ∑(Y - Ȳ) 是多少？
進行多元迴歸分析時，如果使用 X1, X2, X3, X4, X5當預測變項（predictor variables）來預測效標變項 Y（criterion variable），使用總樣本人數為 100人，請回答下列問題：（每小題 5 分，共 25 分）
(一) sum of square for regression（SSR）相對應的自由度是多少？
(二) sum of square for error（SSE）相對應的自由度是多少？
(三)如果 MSE（mean square for error）= 100，請問估計標準誤（standard error of estimate）是多少？
(四) ∑(Y - Ŷ)² 是多少？（註：Ŷ為Y的fitted value）
(五) ∑(Y - Ȳ) 是多少？
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (一)
sum of square for regression（SSR）相對應的自由度是多少？
思路引導 VIP
回想多元迴歸的 ANOVA 變異數分析表。迴歸平方和 (SSR) 的自由度 (df_regression) 怎麼算？它跟預測變項 (自變項) 的數量有什麼關係？題目告訴你用了幾個 X？
小題 (二)
sum of square for error（SSE）相對應的自由度是多少？
思路引導 VIP
繼續回想 ANOVA 表。誤差平方和 (SSE) 的自由度 (df_error) 是怎麼來的？總自由度 (df_total) 是 $N - 1$，那麼 df_error 呢？是不是 $N - k - 1$？把題目給的 $N$ (總人數) 和 $k$ (預測變項數) 代入公式算算看。
小題 (三)
如果 MSE（mean square for error）= 100，請問估計標準誤（standard error of estimate）是多少？
思路引導 VIP
回憶一下，什麼是「估計標準誤 (Standard error of estimate, S_e)」？它衡量的是預測值和實際值之間的平均誤差。那它和變異數分析表裡的「均方誤差 (MSE)」有什麼關係？標準誤是變異數的什麼數學運算？是不是開根號？
小題 (四)
∑(Y - Ŷ)² 是多少？（註：Ŷ為Y的fitted value）
思路引導 VIP
先看這個數學式子 $\sum(Y - \hat{Y})^2$ 是什麼意思？$Y$ 是實際值，$\hat{Y}$ 是預測值，兩者相減再平方加總，這不就是迴歸分析裡的哪一個「平方和」？（答案是 SSE）。我們已知 $MSE = 100$，也算出了 $df_{error} = 94$，那要怎麼反推 SSE 呢？是不是 $MSE = SSE / df_{error}$？
小題 (五)
∑(Y - Ȳ) 是多少？
思路引導 VIP
這是一個統計學的基本陷阱題！仔細看式子，$\sum(Y - \bar{Y})$ 沒有平方喔！它代表「所有的觀察值，減去它們自己的平均數，然後加總」。你想想看，平均數就像一個天平的支點，所有大於平均數的差值，和所有小於平均數的差值，加起來會變成多少？這跟迴歸方程式無關，是描述統計的基本定律。
多元迴歸 ANOVA 計算
💡 熟練多元迴歸變異數分析表中自由度與各項平方和之關係
- 重點 1：SSR 的自由度等於自變項（預測變項）個數 k；本題模型有 X1 至 X5，故 df = 5。
- 重點 2：SSE 的自由度計算公式為 n - k - 1；若總人數 n=100，則 df = 100 - 5 - 1 = 94。
- 重點 3：估計標準誤 (SEE) 即為 MSE 之算術平方根（√MSE），代表預測誤差的標準差。
- 重點 4：離均差總和 Σ(Y - Ȳ) 在統計學中恆等於 0；此為最小平方法之基本數學特性。
