第 二 題

這題問 $r \neq 0$ 是否代表「一定」有關？首先，從「抽樣誤差」的角度想：我們從母群體抽樣，就算母體真正的相關係數 $\rho = 0$，我們抽到的樣本算出來的 $r$ 會剛好完美的等於 0 嗎？是不是需要經過假設檢定？其次，從「偽相關 (spurious correlation)」或「第三變項」的角度想：夏天時「冰淇淋銷量」和「溺水人數」呈現高度正相關，他們是真的有關聯嗎？還是有其他原因？

看到 $r=0$ 且說「一定無關」，你要立刻想到皮爾森積差相關係數 (Pearson's r) 的「限制」。想想看，$r$ 只能偵測到哪一種關係？是所有的關係，還是只有「直線」關係？如果今天有一個變項 $X$ 和 $Y$ 呈現完美的 U 型曲線（例如焦慮程度與考試表現：太低或太高表現都差，適中表現最好），這時算出來的 $r$ 會是多少？這樣他們算「無關」嗎？