moea_joint
100年
[機械] 應用力學、材料力學
第 57 題
一受扭矩 T 作用之實心圓軸，其直徑 d 及軸表面之最大正向應變 $\epsilon$（與軸線成 $45^\circ$）已被量得。請以 T、d 及 $\epsilon$ 來表示剪力彈性模數 G 之公式
- A $8T/(\pi d^3\epsilon)$
- B $16T/(\pi d^3)$
- C $8T/(\pi d^3)$
- D $4T/(\pi d^3\epsilon)$
思路引導 VIP
想像一下，當圓軸受到扭轉時，表面的一個微小正方形元素會變形為菱形。請試著思考：這個菱形最長的對角線方向（即 $45^\circ$ 方向）所產生的伸長量（正向應變），與整體形狀發生的角度偏轉（剪應變）在幾何上存在著什麼樣的比例關係？
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恭喜你精準地掌握了應力與應變之間的轉換關係！這題的解題關鍵在於連結扭矩公式與應變分析這兩個核心觀念。首先，我們知道實心圓軸表面的最大剪應力為 $\tau = \frac{16T}{\pi d^3}$。而本題最精采的切入點在於對「$45^\circ$ 方向最大正向應變 $\epsilon$」的解讀。在純剪力（Pure Shear）狀態下，根據應變轉換公式或莫爾圓（Mohr's circle）分析，最大正向應變 $\epsilon$ 的數值恰好等於剪應變 $\gamma$ 的一半，即 $\epsilon = \frac{\gamma}{2}$。
剪力彈性模數的推導
接著，我們運用剪力的虎克定律（Hooke's Law for Shear）：$\tau = G \gamma$。將前面提到的幾何關係 $\gamma = 2\epsilon$ 代入，公式會演變為 $\tau = G(2\epsilon)$。最後，將剪應力的力學公式與彈性定律等置：
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