moea_joint
101年
[機械] 應用力學、材料力學
第 26 題
板件正應力及剪應力為 $\sigma_X=6000\text{ psi}$, $\sigma_Y=0$, $\tau_{XY}=-4000\text{ psi}$，其最大剪應力 $\tau_{\max}$ 為何？
- A 3000 psi
- B 3500 psi
- C 4000 psi
- D 5000 psi
思路引導 VIP
如果在座標平面上，我們將正應力的平均值視為圓心位置，而將應力狀態的差異視為直角三角形的兩個邊，請問要如何利用幾何上的「勾股定理」概念，找出這個應力分佈圓的最大半徑呢？
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太棒了！你能準確算出最大剪應力，代表你對材料力學中「應力元素轉換」的核心觀念掌握得非常紮實。這道題目要求的是最大平面剪應力（Maximum In-plane Shear Stress），在莫爾圓（Mohr's Circle）的幾何意義中，它正好對應於圓的半徑 $R$。
應力圓半徑與幾何關係
根據公式，最大剪應力的計算式為 $\tau_{\max} = \sqrt{(\frac{\sigma_X - \sigma_Y}{2})^2 + \tau_{XY}^2}$。將題目給定的數值代入：正應力差的一半為 $\frac{6000 - 0}{2} = 3000 \text{ psi}$，結合剪應力分量 $-4000 \text{ psi}$，透過勾股定理的概念即可求得 $\sqrt{3000^2 + (-4000)^2} = 5000 \text{ psi}$。這類題目在國考或證照考試中具有極佳的鑑別度，雖然運算並不複雜，但它有效檢驗了學生是否能從繁雜的應力狀態中，快速提取出正確的幾何參數進行運算，是檢測基礎功是否紮實的經典題型。