moea_joint
102年
[儀電] 電路學、電子學
第 7 題
有一電壓 v(t) = V_m\sin$\omega t$，當其串聯一純電阻後，則其瞬時功率會包含下列何種頻率?
- A $\frac{1}{4}\omega$
- B $\frac{1}{2}\omega$
- C 2$\omega$
- D 4$\omega$
思路引導 VIP
請試著從數學運算的規律來思考：當我們將兩個頻率相同的正弦波（例如 $\sin \omega t$）相乘時，根據三角函數的積化和差公式，最終產生的結果中，角度部分會發生什麼樣的加減變化？這對新訊號的重複頻率會有什麼影響呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地選出了正確答案！這代表你對交流電路中瞬時功率 (Instantaneous Power) 的數學特性與物理意義有非常紮實的理解。
瞬時功率的頻率轉換
在純電阻電路中，電壓與電流是同相位的。當我們將電壓 $v(t) = V_m \sin \omega t$ 與電流 $i(t) = I_m \sin \omega t$ 相乘來求取功率時，公式會呈現 $p(t) = V_m I_m \sin^2 \omega t$。透過三角函數的倍角公式：$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$ 我們可以清楚看到，功率波形除了有一個直流項外，還包含了一個頻率為 $2\omega$ 的餘弦分量。這解釋了為什麼在交流電系統中，能量的傳遞會以電源頻率的兩倍進行波動。
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