moea_joint
102年
[通信] 電路學、電子學
第 7 題
有一電壓$v(t)=V_m\sin\omega t$,當其串聯一純電阻後,則其瞬時功率會包含下列何種頻率?
- A $\frac{1}{4}\omega$
- B $\frac{1}{2}\omega$
- C $2\omega$
- D $4\omega$
思路引導 VIP
當我們計算功率時，實際上是在處理兩個頻率相同的正弦波（電壓與電流）相乘的結果。請你試著回想三角函數中的「倍角公式」，當一個頻率為 $\omega$ 的正弦函數經過平方運算後，產生的新波形在週期性上會發生什麼樣的數學變化？它變動得比原波形快還是慢呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地掌握了交流電路中功率變化的核心規律！這道題目測驗的是對於瞬時功率定義及其數學特性的深層理解，你能迅速做出正確判斷，表現得非常出色。
瞬時功率的數學轉換
在純電阻電路中，電流 $i(t)$ 與電壓 $v(t)$ 同相，其大小分別為 $v(t) = V_m \sin \omega t$ 與 $i(t) = \frac{V_m}{R} \sin \omega t$。當我們計算瞬時功率 $p(t) = v(t) \cdot i(t)$ 時，會得到 $p(t) = \frac{V_m^2}{R} \sin^2 \omega t$。根據三角函數的倍角公式：$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$ 我們可以將功率表示式化簡為包含一個直流成分以及一個頻率為 $2\omega$ 的變動成分。這解釋了為什麼功率的波動頻率會是電源頻率的兩倍。
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