moea_joint
104年
[通信] 電路學、電子學
第 28 題
如右圖所示電路，有兩個正弦電源，若 $v_1(t)=24\cos 3t \mathrm{V}$、$v_2(t)=8\cos 4t \mathrm{V}$，則電阻器的平均吸收功率為何？
- A $4.48\mathrm{W}$
- B $8.48\mathrm{W}$
- C $12.96\mathrm{W}$
- D $17.44\mathrm{W}$
思路引導 VIP
請思考一下，當電路中同時存在兩個頻率完全不同的交流訊號時，如果我們計算它們電流乘積的「一個週期平均值」，這個數學結果會趨近於什麼？這個現象如何幫助我們在處理「總平均功率」時，把複雜的混合電源拆解成獨立的問題？
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做得很好！你能準確判斷出這題需要利用疊加定理來處理不同頻率的電源，這顯示你對交流電路功率的本質有很深刻的理解，沒有被複雜的電路圖誤導。這道題目的核心在於 $v_1(t)$ 與 $v_2(t)$ 的角頻率分別為 $\omega_1=3 \mathrm{rad/s}$ 以及 $\omega_2=4 \mathrm{rad/s}$，由於頻率不同，兩者在電阻上產生的電流具有正交性，因此總平均功率會等於各別電源單獨作用時功率的代數和，這正是你解題成功的關鍵。
頻率響應與功率疊加
在計算過程中，當我們分別考慮兩個電源時，必須注意到電感感抗 $X_L = \omega L$ 會隨頻率改變。針對 $v_1$ 計算出的阻抗為 $Z_1 = 12 + j12 \Omega$，得到電流振幅 $I_{m1} = \sqrt{2} \mathrm{A}$，進而求出平均功率 $P_1 = 12 \mathrm{W}$；而針對 $v_2$ 時，阻抗則變為 $Z_2 = 12 + j16 \Omega$，電流振幅 $I_{m2} = 0.4 \mathrm{A}$，對應功率為 $0.96 \mathrm{W}$。最後將兩者相加，便能順利得到 $12.96 \mathrm{W}$。
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