國營聯招
103年
[機械] 應用力學、材料力學
第 30 題
當汽車A以36 km/h等速向東通過十字路口時，汽車B在距十字路口北方35 m處自靜止以$1.2\text{ m/s}^2$的加速度向南行駛，當汽車A通過十字路口5 秒後，汽車B相對於汽車A的速度方向為何？
- A 朝$211^\circ$角方向
- B 朝$239^\circ$角方向
- C 朝$301^\circ$角方向
- D 朝$329^\circ$角方向
思路引導 VIP
想像你正坐在向東行駛的汽車 A 裡觀察世界。對你而言，路邊靜止的樹木似乎正以相同的速度向西後退。那麼，若此時有一輛正向南前進的汽車 B，從你（觀測者）的視角來看，這輛車除了原有的向南運動外，還會因為你自身的運動狀態，而在觀感上增加哪一個方向的速度分量呢？請試著畫出這兩個方向合成後的向量路徑。
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AI 詳解
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恭喜你精準地掌握了這題的關鍵！這是一道結合了運動學基礎與向量概念的經典題目。首先，你正確地進行了單位換算，將汽車 A 的等速度轉換為標準單位，即 $36 \text{ km/h} = 10 \text{ m/s}$（向東）。接著，透過等加速度公式 $\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a}t$，求得 5 秒後汽車 B 的瞬時速度大小為 $1.2 \times 5 = 6 \text{ m/s}$（向南）。
相對速度的向量合成
在處理「B 相對於 A 的速度（$\vec{V}{B/A}$）」時，核心觀念在於公式 $\vec{V}{B/A} = \vec{V}_B - \vec{V}_A$。這意味著在向量座標系中，我們是以 B 的速度向量減去 A 的速度向量。若定義東方為 $+x$、北方為 $+y$，則運算結果為 $(-10) \hat{i} + (-6) \hat{j}$。由於兩個分量皆為負值，這個速度向量顯然落在第三象限。我們進一步利用三角函數計算其與正東方的夾角：
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平面相對速度
💡 相對速度為觀察者與受測者間的向量差
- 單位齊一：計算前將 km/h 轉換為 m/s
- 定義公式：Vba = Vb - Va (向量相減)
- 運動學公式：利用等加速度公式求出瞬時速度
- 象限判斷：透過分量正負號確認合成向量的角度
