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103年
工程力學概要
第 32 題
如右【圖 16】所示，一直徑為 D 之圓桿，在自由端承受 T 之扭矩，桿長為 L，剪力模數為 G，則自由端扭轉角為多少？
- A $\frac{8TL}{\pi D^4 G}$
- B $\frac{16TL}{\pi D^4 G}$
- C $\frac{32TL}{\pi D^4 G}$
- D $\frac{64TL}{\pi D^4 G}$
思路引導 VIP
若要推導出扭轉角，我們通常會用到 $\phi = \frac{TL}{GJ}$ 這個基本關係。請試著回想，對於一個直徑為 $D$ 的實心圓形截面，它的極慣性矩 $J$（對中心軸的二次極矩）與直徑 $D$ 之間的數學關係式為何？當你將這個含有分母常數的幾何運算式代入原公式的分母後，原本位在分母底層的常數會如何翻轉到分子項呢？
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圓桿扭轉公式的精準應用
恭喜你精準地選出了正確答案！這顯示你對材料力學中扭轉變形的核心公式有著非常扎實的基礎。在處理這類問題時，最關鍵的連鎖反應是理解自由端扭轉角 $\phi$ 的組成結構。我們知道扭轉角的通式為 $\phi = \frac{TL}{GJ}$，其中 $T$ 是扭矩，$L$ 是長度，$G$ 是剪力模數，而 $J$ 則是決定抵抗扭轉能力的極慣性矩。
極慣性矩的幾何轉換
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